Формализм огибающей функции

1. Формализм огибающей функции

2.

Метод эффективной массы
На блоховский электрон наложен дополнительный потенциал V, внешний по
отношению к идеальной решетке.
V
a
1
V
- потенциал медленно меняется, оставаясь практически
постоянным в пределах элементарной ячейки
Hˆ Hˆ c V (r );
2
ˆ
p
1
ˆ
ˆ
Hc
Vс (r ); H c k ,n (r ) n (k ) k ,n (r ); n ,k (r )
exp ikr un ,k (r )
2m0
СУШ в блоховском представлении (в представлении по базису из волновых
функций Блоха)
E (k )
n
n , n k ,k
V (n, k ; n , k ) a(n , k ) 0;
n , k
V (n, k ; n , k ) dr n ,k (r ) V (r ) n ,k (r )
a(n, k )
n ,k
n ,k
(r )

3.

V (r )
q
V (n, k ; n , k ) dr
V (q)
1
exp ikr un ,k
q
1
exp ik r un ,k (r )
1
dr exp i (k q k )r un ,k (r ) un ,k (r )
q
(r ) V (q) exp iqr
V (q) exp iqr V (n, k ; n , k ) dr n ,k (r ) V (r ) n ,k (r )
dr exp i (k q k )r un ,k (r ) un ,k (r )
i
dr exp i (k q k )r un ,k (r ) un ,k (r )
i
Все ячейки – одинаковые +u – периодические функции с периодом решетки =>
разумно перейти к интегрированию по одной ячейке
r
’
i
Ri
0
Замена переменной
r
r R i r

4.

dr exp i (k q k )r u n ,k (r ) u n ,k (r ) exp i (k r q k )R i
i
dr exp i (k q k )r u n ,k (r R i ) u n ,k (r R i )
0
exp i (k r q k )R i
dr exp i (k q k )r u n ,k (r ) u n ,k (r )
0
dr exp i (k q k )r u
n ,k
(r ) u n ,k (r )
i
exp i (k q k )R i
dr exp i (k q k )r u n ,k (r ) u n ,k (r )
0
k q k , 0
1
0
0
dru n ,k (r ) u n ,k q (r )
решеточная сумма

5.

V (n, k ; n , k )
V (q) k q k , 0
q
V (n, k ; n , k ) a (n , k )
n ,k
V (q)
n
V (q)
q
1
0
n (k ) a(n, k )
V (q) k q k , 0
dr un ,k (r ) un ,k q (r )
1
0
k ,k q
dr un ,k (r ) un ,k q (r ) a (n , k )
0
a (n , k )
k
0
СУШ
V (q) I
q
V (n, k; n , k ) a(n , k )
n ,k
q
I n ,n (q)a (n , k q);
n
dr un ,k (r ) un ,k q (r )
0
n ,k
q
1
0
n
n , n
I n ,n (q)
1
0
dr un ,k (r ) un ,k q (r )
0
(q)a(n , k q) E a (n, k )

6.

Потенциал V медленно меняется на межатомном масштабе => основной вклад
дают малые q (чем медленнее меняется потенциал, тем меньше эта область).
Поэтому можно провести разложение в ряд Тейлора в окрестности q=0
1
I n ,n (q)
0
dr un ,k (r ) un ,k (r ) q k un ,k (r )
0
1
I n ,n (q 0) q
0
n , n q
1
0
dr un ,k (r ) k un ,k (r )
0
dr un ,k (r ) k un ,k (r )
0
Ограничимся нулевым членом I n , n (q) n , n
n (k ) a(n, k )
V (q)a(n, k q) E a(n, k )
q 0

7.

n (k ) a(n, k )
V (q)a(n, k q) E a(n, k );
q 0
a(n, k )
n ,k
(r )
n ,k
Пусть V=V0=const
V (q) V
1
dr exp iqr V q ,0
E n (k ) V
- состояния не изменяются
E n (k ) V a(n, k ) 0
a(n, k ) n ,n k ,k
V(r) меняется медленно =>Основной вклад в V(q) дают малые q => в разложение
волновой функции ψ состояния, возникшего из блоховского состояния k0, дают
волновые вектора k0.. Вблизи экстремума периодические части блоховских
функций слабо зависят от k. Таким образом, для состояний во внешнем поле,
возникших из состояний вблизи экстремума можно написать
1
1
(r )
a (n, k )
exp( ikr)un ,k 0 (r )
a (n, k ) exp i k k 0 r
exp ik 0 u n ,k 0 (r )
k k 0
k k 0
(r ) (r ) n ,k (r ); (r )
0
a(n, k ) exp i k k r
0
k k 0
- Огибающая (тот же порядок
скорости изменения, что и у V)

8.

Волновая функция возмущенных состояний, возникших из состояний вблизи
экстремума k0=0
(r ) (r ) n ,0 (r ); (r )
a(n, k ) exp ikr
k 0
n (k ) a(n, k )
V (q)a(n, k q) E a(n, k )
q 0
В случае простого невырожденного экстремума k0=0
2
n (k ) n (0)
2
2
2
,
,
1
k k
m ,
1
k k a(n, k )
m ,
V (q)a(n, k q) E (0) a(n, k )
n
q 0
Умножаем обе части на exp(ikr) и суммируем по k

9.

1
k k exp( ikr) a(n, k )
m ,
2
1
k k exp ikr a(n, k )
2
m ,
k
k
2
2
2
2
,
,
1
m ,
2
2
2
1
2
( i )
x x
m ,
1
2
k
k
q
k
k
1
m ,
a(n, k ) k k
k
2
a(n, k ) exp ikr
2
1
pˆ pˆ , где pˆ i
m ,
V (q)
q
n
exp ikr
k
2
2
a(n, k ) ( i )
exp ikr
x
x
2
2
V (q) a(n, k q) E (0) exp(ikr)a(n, k )
exp( ikr)a (n, k q)
q
1
)( i
) (r )
( i
m
x
x
,
- Оператор квазиимпульса
V (q) exp( iqr )
k
exp ikr a (n, k ) V (r ) (r )

10.

Волновая функция возмущенных состояний, возникших из состояний вблизи
экстремума k0=0
) (r ) n , 0 (r ); (r )
a(n, k ) exp ikr
k 0
1
1
pˆ pˆ V (r ) (r ) E (r )
2 m ,
pˆ i - оператор квазиимпульса

11.

Для описания термодинамических явлений нужно уметь вычислять матричные
элементы макроскопических величин, которые медленно меняются на
межатомном масштабе
L12 dr 1 (r ) L(r ) 2 (r ) dr 1 (r ) L(r ) 2 (r ) n ,k 0 (r ) n ,k 0 (r )
f (r ) 1 (r ) L(r ) 2 (r )
- медленная функция , остающаяся практически
постоянной в пределах элементарной ячейки
(r ) n ,k (r ) n ,k (r ) un ,k (r )un ,k (r ) -быстропеременная функция,
0
I drf (r ) (r )
0
0
0
обладающей периодичностью
кристаллической решетки

12.

(r )
(q) exp(iqr ) I drf (r) (r)
q
I
(q) drf (r) exp(iqr )
q
drf (r) exp(iqr ) dρ f (R ρ) exp(iqρ)
i
i
i
f (R i ρ) f (R i ) drf (r ) exp( iqr )
f (R ρ) dρ exp(iqρ) f (R ρ)
i
i
i
I (q 0)
f ( R i ρ) 0
i
1
(q)
dr (r ) exp( iqr )
q,0
(q 0) 1 dr (r)
I
1
dr (r ) dr f (r )
i
i
0

13.

L12 dr 1 (r ) L(r ) 2 (r ) dr 1 (r ) L(r ) 2 (r ) n ,k 0 (r ) n ,k 0 (r )
f (r ) 1 (r ) L(r ) 2 (r )
(r ) n ,k (r ) n ,k (r )
0
0
1
I drf (r ) (r )
dr (r ) dr f (r )
L12 dr 1 (r ) L(r ) 2 (r )
1
dr n ,k 0 (r ) n ,k 0 (r ) 1 L12 dr 1 (r ) L(r ) 2 (r )
1
dr n ,k 0 (r ) n ,k 0 (r ) dr 1 (r ) L(r ) 2 (r )
Зная только огибающую можно описывать макроскопические явления в
кристалле.
Огибающую можно рассматривать как волновую
функцию электрона!!!

14.

1
2
pˆ 2
V (r ) (r ) E (r )
*
2m
Вместо реальных электронов в кристалле можно рассматривать квазичастицы
с эффективными массами.

15.

1
2
pˆ 2
V (r ) (r ) E (r )
*
2m
1) вблизи дна невырожденной зоны с параболическим невырожденным
законом дисперсии имеем
pˆ 2
V E
2mc
2) вблизи потолка невырожденной зоны с параболическим невырожденным
законом дисперсии имеем
2 E (p)
mV
0
2
p k 0
pˆ 2
V E Концепция дырки
2 mV

16.

Магнитное поле
2
1
2mc ,
e
i
A V B g σB E
x c
1
2m p ,
e
i
A VU B g σB E - вблизи потолка
x c
2
- вблизи дна

17.

Вырожденный экстремум
(r) (r)
r
(r)
j
j
j 1
r
j1 1 ,
j , j1
,
D
pˆ pˆ j1 V j E j

18.

Узельное представление.
Функции Ваннье.
Общий формализм огибающей

19.

Внешний потенциал практически не меняется в пределах элементарной ячейки.
Поэтому удобно использовать базис из функций, локализованных в пределах
ячеек. В качестве таких базисных функций удобно использовать функции Ваннье.
k G , (r ) k , (r ) k , (r ) N
(n; r) exp ikn
n
(n; r )
- функции Ваннье
1) Функции Ваннье – линейные комбинации функций Блоха
Умножаем обе части разложения на exp(ikm) и суммируем по зоне Бриллюэна
exp ikm (r) N exp ikm (n; r) exp ikn
exp ikm (r) N (n; r) exp ik n m
1
exp ik(n m) N (n; r) N exp ikn (r)
k ,
k
k
n
k ,
k
k
n ,m
k
n
k ,
k

20.

(n; r) (r n)
2) Функции Ваннье зависят от разности r-n
1
(n; r)
N
k
1
exp ikn exp( ikr)uk , (r )
N
exp(ik(r n))u
3) Набор функций Ваннье является полным
(r n) (r n)
,n
,n
1
N
k ,
(r ) k , (r )
k ,k
exp i(k k )n N
n
1
N
k
k ,
k
1
exp ikn k , (r )
N
exp ik n
k
n
k ,k
(r n) (r n)
,n
Функции Блоха образуют полную систему =>
k ,
Для набора функций Блоха выполнено условие полноты
,n
(r ) k , (r )
(r ) k , (r ) (r r )
,k
(r n) (r n) r r
k ,
,k
k ,
exp i(k k )n
(r n)
(r )

21.

4) Функции Ваннье являются ортонормированными
1
1
dr (r n) (r n ) dr
exp ikn k , (r )
exp ik n k , (r )
N k
N k
1
1
exp ikn ik n dr k , (r ) k , (r )
exp ikn ik n k,k ,
N k ,k
N k ,k
exp ikn ikn
N
,
, n, n
k
5) Огромное преимущество функций Ваннье состоит в том, что они локализованы
в пределах своей элементарной ячейки
(r n) - локализована в ячейке n и быстро убывает за ее пределами на
расстояниях, порядка межатомных.
Пусть f(r) -медленно меняется на расстояниях, порядка межатомных
, n f (r) , n dr (r n) f (r) (r n ) f (n) dr (r n) (r n ) f (n) , n,n

22.

(r, t )
,n
2
C (n, t ) (r n) i
Vc (r ) V (r )
t 2m0
(k ) exp ik (n m) C (m, t ) V (n)C (n, t )
(k G ) (k ) (k ) (m ) exp ikm
C (n, t ) 1
i
t
N
m ,k
m ,m ,k
1
N
m ,k
1
(k ) exp ik (n m) C (m, t )
N
(m ) exp ik (m n m) C (m, t )
m , m ,k
exp ik (m n m) N
1
(k ) exp ik (n m) C (m, t ) (m)C (m n, t )
N
1
N
m ,m n
k
m ,k
m

23.

1
N
(k ) exp ik (n m) C (m, t ) (m)C (m n, t )
m ,k
m
C (m n, t ) 1
1
N
1
m
n 2
,
2
m m
C (n, t )
n n
(k )C (m, t )
m ,k
(m) 1
2
m m
C (n, t )
n n
(m) exp m C (n, t ) ( i )C (n, t )
( i ) (m) exp m
m
1
m
n 2
m
m
,

24.

C (n, t )
( i ) V (n) C (n, t )
t
На межатомном масштабе V меняется слабо => в значения С в соседних ячейках
отличаются мало => можно ввести плавную зависимость от координат
(r, t ) C (r, t )
- огибающая
(r, t ) ˆ
i
H (r, t ); Hˆ ( i ) V (r )
t

25.

(1)
L
( 2)
C
1
(n1 )C (n) dr 1 (r n1 ) L(r ) (r n)
,n
1 ,n1
dr
(1)
1
(r n1 ) L(r ) (r n) L(n) , 1 n ,n1
L
( 2)
C
1
(n1 ) L(n)C (n)
,n
1
C 1 (n1 ) L(n)C (n)
0
(1)
L
( 2)
dr (r)L(r) (r)
n
dr (r)L(r) (r) dr (r)L(r) (r)
1
0
n
n
1
0
В случае медленного внешнего потенциала термодинамические свойства
электронной подсистемы в кристалле с большой точностью совпадают со
свойствами газа квазичастиц с Гамильтонианом

26.

В случае медленного внешнего потенциала термодинамические свойства
электронной подсистемы в кристалле с большой точностью совпадают со
свойствами газа квазичастиц с Гамильтонианом
Hˆ ( i ) V (r)

27.

Стационарные состояния блоховского электрона в однородном
электрическом поле. Лестницы Ваннье-Штарка.
V ( x) eFx
kx
iF
C (k )
i
(k )C (k ) EC (k ) C (k ) A dk x exp (k ) E
k x
F
0
C (k x 2 / a, k y , k z ) C (k x , k y , k z )
2 / a
Em (k y , k z ) eFm (k y , k z ) , m 0, 1, 2, ,
(k y , k z )
dk (k , k , k )
x
0
x
y
z

28.

Примесные состояния в полупроводниках
Донорные примеси – валентность больше, чем у основных атомов п/п => не
хватает пары для одного электрона примесного атома => под влиянием
внешнего воздействия электрон отрывается => возникает электрон
проводимости и положительно заряженный ион примеси. Положительно
заряженный ион трансформирует спектр электрона
Мелкие примеси:
1) Расстояние от электрона до примеси>>постоянной решетки => можно
рассматривать движение электрона в сплошной среде с диэлектрической
проницаемостью ε
2) Размер иона << расстояния до электрона => поле иона можно разложить по
мультиполям. Ион – заряженная система => оставляем только
мультиполный член.

29.

pˆ 2 e 2
- Атом водорода
E
2 m r
E 0 - непрерывный спектр => делокализованные состояния. Электрон
свободно перемещается по кристаллу – зона проводимости
E 0
- Связанные состояния
4
me e
m e4
En 2 2 En 2 2 2
2 n e e /
2 n
me m
m e4
E Ec 2 2 2
2 n
- в щели появляются дискретные уровни
Когда электрон находится на донорном уровне, он локализован на примеси.
Переход в зону проводимости соответствует отрыву электрона.

30.

Акцепторные примеси – валентность меньше, чем у основных атомов =>
возникает неукоплектованная связь. Электроны соседних атомов захватываются
на эту связь. Примесь заряжается отрицательно, а по кристаллу начинает
перемещаться вакантное место – дырка.
pˆ 2 e 2
pˆ 2
e 2
E ; m p m 0
E
r
2
m
p r
2 m
E 0
4
me e
m e4
En 2 2 En 2 2 2
2 n e e /
2 n
me m
m e4
E EV 2 2 2
2 n
- В щели возникают дискретные примесные уровни
Электрон, находящийся на примесном уровне, локализован на примеси.
Переход из валентной зоны на акцепторный уровень – разрыв валентной
связи, и захват на вакантную связь примеси