Равновесная статистика носителей в полупроводниках

1. Равновесная статистика носителей в полупроводниках

2.

I) Собственный полупроводник (нет легирующих примесей)
e
Ec
Eg
N n ,c N p ,v F (T , пар - ры зон)
N n ,c
p
Ev
Ec ,k , F
1
; N F ( x)
N F
T
exp( x) 1
k ,
F
NF
среднее число электронов в одночастичном ссостояни сс энергий ε
T
F
1 NF
среднее число дырок в одночастичном состоянии с эн ергией ε
T
F
E
Ev ,k , F
N F
N p ,v 1 N F v ,k ,
T
T
k ,
k ,
Для простоты и наглядности считаем зоны невырожденнымы параболическими
и изотропными
зона проводимости : Ec ,k , Ec
валентная зона : Ev ,k , Ev
( p)
k
(n)
k
;
;
( p)
k
(n)
k
2k 2
2mn
2k 2
; m p mn 0
2m p

3.

Считаем среднее число электронов в валентной зоне
Ec k( n ) F
k( n )
Ec ,k , F
N F
N F
N n ,c N F
T
T
k ,
k ,
T
k ,
- Уровень Ферми, отсчитанный от дна зоны проводимости
F Ec
N n ,c d k( n ) N F
d g c N F
T
T
k ,
g c k( n )
k ,
g c ( )
(
(n)
k
k ,
V
2
(2 ) 3
- Плотность одноэлектронных стационарных состояний
)
1
1/ 2
(
(n)
k
k
2k 2
V
2
dk
4
3
2mn
(2 )
) 2
( k( n ) ) 2
k
2k 2
dkk
2mn
0
2
2k 2
Замена переменной x
2mn
V 2mn
g c ( )
2 2 2
V 2mn
2 2 2
3/ 2
3 / 2
0
V 2m
dx x x
2 2 2
1, 0
0 0
V 2mn
2 2 2
3/ 2
, 0
0. 0
3/ 2
( )
V
(2 ) 3
dk ( k( n ) )

4.

N
2 m
n n ,c 2 2n
V
3 / 2
d
0
exp
1
T
k( p ) E g
k( p ) F Ev
Ev ,k , F
Ev ,k , F
N F
N p ,v 1 N F
N F
N F
T
T
T
T
k ,
k ,
k ,
k ,
F Ev F E с Ec E v E g
N p ,v d g c N F
;
T
Плотность состояний в валентной зоне g v ( )
(
( p)
k
);
k ,
Плотность состояний в зоне проводимости g с ( )
(
(n)
k
k ,
V 2 m
Если mn m p , то g с ( ) g v ( ) g v ( ) 2 2n
2 mp
p
2 2
V
N p ,v
3 / 2
d
0
Eg
1
exp
T
3/ 2
( )
( p)
k
2k 2
2m p
);
(n)
k
2k 2
2mn

5.

0 d
exp
1
T
n p
3 / 2
2 mp
p 2 2 d
0
Eg
1
exp
T
2 m
n 2 2n
3 / 2
mp
d
0
m
exp
1 n
T
3 / 2
d
0
m p- Именно
F T , E g , отношение
масс
mn
Eg
1
exp
T
Во многих важных для практики ситуациях mp/mn~1-10.
В самом грубом приближении mp=mn
mp
0 d mn
exp
1
T
3 / 2
d
0
Eg
exp
T
1
Уровень Ферми находится в запрещенной зоне!!!
F Ec
Eg
2

6.

Для электроники наиболее важны невырожденные полупроводники: величина
щели столь велика, что при рабочих температурах уровень Ферми лежит в
запрещенной зоне и отстоит от краев зон на несколько kT. Тогда
1
exp 1 N F
exp exp
T
T
T
exp
1
T
- распределение
Больцмана
3 / 2
E g
2 mp
p 2 2 d exp exp
0
T
T
3/ 2
3/ 2
2
d
exp
x
2
T
dx
x
exp
x
T
0
T
2
T
0
3/ 2
m
T
n
n 2
exp
2
2
T
3/ 2
m pT
E g
exp
p 2
2
T
2
2 m
n 2 2n
3 / 2
d
exp
exp
0
T
T

7.

n p
3/ 2
m pT
E g
exp
p 2
2
T
2
mnT
n 2
2
2
3/ 2
exp
T
Eg
2
exp exp
T
T
mp
mn
3/ 2
mp
3
T ln
2 4
mn
Eg
Зависимость от эффективных масс слабая (логарифмическая) => тепловой член
порядка Т
Eg
mp
0
1 ln
mn
2
mn
mp
Eg
mp
0
1 ln
mn
2
mn
mp
- Смещается в сторону зоны провод.
- Смещается в сторону валентн. зоны
Уровень Ферми смещается в ту сторону, где меньше плотность состояний

8.

3/ 2
m
T
n
exp
n 2
2
Eg 3
mp
T
2
T ln
3/ 2
2 4
m
m pT
Eg
n
p 2 2 2 exp T
Eg
(0)
n p nT exp
2T
(0)
T
n
2
j E
mn m p
4 3 3
3/ 2
Порядка концентрации, соответствующей одной частице на
объем λ3, где λ – длина дебройлевской волны электрона
(дырки)
Eg
- Активационный характер проводимости
0 exp
n
2T

9.

В зоне проводимости Si и Ge изоэнергетические поверхности – эллипсоиды. Их центры не совпадают
с центом зоны Бриллюэна => в зоне проводимости есть несколько эквивалентных минимумов с
законом дисперсии
2 2
2 k x2 k y
2 k z2
(n)
k
2mn , x 2mn , y 2mn , z
g c ( )
(
i 1 k ,
(n)
k
) 2
i 1
(
k
Переходим к новым переменным k x
k x
k x
D k x , k y , k z k y
D k x , k y , k z k x
k z
k x
k x
k y
k y
k y
k z
k y
(n)
k
k x
k z
k y
k z
k z
k z
2 2
2 k y2 2 k z2
k
V
x
) 2
dk x dk y dk z 2m 2m 2m
(2 ) 3 i 1
n, x
n, y
n, z
ky
kx
kz
; k y
; k z
mn , x
mn , y
mn , x
mn , x
0
0
0
mn , y
0
0
0
mn , z
mn , x mn , y mn , z
2 2
2 2
D k x , k y , k z
k y 2 k z 2
k
x
dk x dk y dk z
D k x , k y , k z
2
2
2
2V
g c ( )
(2 ) 3
mn , x mn , y mn , z
2V
(2 ) 3
g c ( )
2V
mn , x mn , y mn , z (2 ) 3
2 2
2 2
k y 2 k z 2
k
x
dk x dk y dk z
2
2
2
2 k 2
dk x dk y dk z
2
V 2 mn , x mn , y mn , z
g c ( ) 2
2
3/ 2
( )
- Плотность состояний для
изотропного параболического
закона дисперсии с единичной
массой

10.

Изотропный параболический закон дисперсии)
V 2 mn
g c ( ) 2 2
3/ 2
( )
Элипсоидальный закон дисперсии (Si и Ge)
V 2 mn ,d
g c ( ) 2 2
3/ 2
mn ,d mn , x mn , y mn , z
mnT
n 2
2
2
3/ 2
( )
- Эффективная масса плотности состояний (вводится
для того, чтобы выражение для сложного закона
дисперсии совпадало по форме с выражением для
изотропного параболического закона дисперсии)
exp
T
- Тот же самый вид, что и для простого
изотропного параболического закона
дисперсии только с другой массой (массой
плотности состояний)

11.

Закон дисперсии дырки вблизи максимума валентной зоны Si и Ge
( p)
i ,k
2k 2
Фi ( , ); i – нумерует ветви (тяжелые и легкие дырки)
2m0
V
2k 2
( p)
2
g v ( )
( i ,k ) 2
d
dkk
Ф
(
,
)
i
3
(
2
)
2
m
i
0
i ,k ,
0
2k 2
Замена переменной x
Фi ( , )
2m0
V 2
V 2m
g c ( ) 3 3 m03 / 2 d Ф 3 / 2 ( , ) dx x x
2
2
4
2
i
0
V 2 m03 / 2
2 3
4
md , p
1
m0
4
md , pT
p 2
2
2
3/ 2
, 0
0
0.
3 / 2
d
Ф
(
,
)
i
( )
d Ф
i
3/ 2
3 / 2
( , )
2/3
- Эффективная масса плотности состояний
для дырок
E g - То же самое выражение, что и для простого
exp
T
изотропного параболического закона дисперсии,
только с другой массой (массой плотности
состояний)

12.

md , p
Eg 3
T ln
n p
3/ 2
2 4
md , pT
E g
md ,n
exp
p 2
2
T
2
md ,nT
n 2
2
2
n p n
(0)
T
3/ 2
exp
T
2 md ,n md , p
Eg
(0)
; nT
exp
3 3
2
T
4
mn ,d mn , x mn , y mn , z ; md , p
1
m0
4
3/ 2
3 / 2
i d Ф ( , )
2/3
Введение эффективных масс плотноси состояний позволило записать
выражения для уровня Ферми и равновесных концентраций носителей в том
же виде, что и в случае простого изотропного параболического закона
дисперсии

13.

В случае произвольного закона дисперсии эффективная масса плотности
состояний вводится таким образом, чтобы через нее выражение для
концентрации носителей выглядело также, как и в случае простого изотропного
параболического закона дисперсии
2V
dk k
3
2
Все k-пространство можно исчерпать, сначала интегрируя по
изоэнергетическим поверхностям, а затем суммируя эти поверхности
g ( )
k - Изоэнергетическая поверхность
dS - Элементарная площадь изоэнергетической поверхности
- Координата, неизменная на изоэнергетической поверхности
d ν k
ν k
k
k
d ; ν - Нормаль к изоэнергетический поверхности
k
dp dSd
k
d
d
k
k
dS ( )d
k
k
g ( )
2V
dS ( )
2V
d
3
k
2 3
2
k
dS ( )
k
k

14.

2V
2 3
g ( )
n
2
dS ( )
1
n d g ( ) N F
k
V
T
k
d
2 3
dS ( )
NF
k
T
k
NF
exp
T
T T
невырожденный полупроводник
n
1
4 3
d
dS ( )
exp
k T
T
k
md ,nT
Нужно записать в виде n 2
2
2
md3 /,n2
1 1 2
3
4 2 T
2
3/ 2
d
3/ 2
exp
T
dS ( )
k T
dS ( )
d
2 T k T
k
k
2/3
2
md ,n
В произвольном случае эффективная масса плотности состояний зависит от
температуры

15.

2) Полупроводник n-типа (легирован донорами)
Ec
Ed
+
Ev
Электроны попадают в зону проводимости:
1) За счет переходов из валентой зоны (разрыв
валентной связи). В валентной зоне
образуются дырки.
2) За счет переходов с донорных уровней
(электрон отрывается от донора). Донор
становится положительно заряженным ионом
Уравнение на уровень Ферми – условие электронейтральности
Число электронов в зоне проводимости = число дырок в валентной зоне +
число вакантных мест на примесных уровнях
Рассматриваем невырожденный полупроводник
mT
n 2 n 2
2
3/ 2
exp
T
3/ 2
Eg
exp
T
m pT
p 2
2
2

16.

Надо найти число вакантных мест на донорных уровнях
N D N D Nn,d
Электроны на донорных уровнях можно рассматривать как систему с
переменным числом частиц, которая находится в равновесии с валентными
электронами и электронами проводимости и кристаллической решеткой.
Электроны, локализованные на примесях, нельзя считать
невзаимодействующими => нельзя использовать распределение Ферми-Дирака.
Нужно использовать общий подход – считать стат сумму
j,N
j ,n ( N j )
- Энергия Nj электронов на j-ой примеси
E j , N j , n( N j ) j , N j ,n ( N j ) ; N j , N j , n( N j ) N j
j
Z
j
E j , N j , n( N j ) FN j , N j , n( N j )
exp
T
j , N j , n ( N j )
j , N j ,n ( N j ) F N j
exp
T
N1 n ( N1 ) N 2 n ( N 2 )
j 1
ND
F Nj
ND
exp j , N j ,n ( N j )
j 1 N 0n ( N )
T
j
j

17.

j , N j ,n ( N j ) F N j
Z z j ; z j exp
T
N j 0n ( N j )
j 1
T ln Z ; N n ,d
F
Nd
Считаем, доноры одинаковыми
Z z ND
Рассматриваем однозарядные доноры (на доноре может локализоваться только
один электрон)
N j ,n ( N j ) F N j
1 exp n F
z exp
n
T
T
N j 0n ( N j )
n
g 0 1 - из-за большого радиуса сильно возбужденных состояний
1
n
суммирование происходит по конечному числу состояний
Примесный спектр – дискретный. Пронумеруем уровни энергии натуральным
числом m
m F
z g 0 m exp
; m
T
m
- Кратность вырождения m-го
уровня энергии

18.

F
z g 0 g1 exp D
;
T
g1 1 m exp m 1
T
m
F
T ln Z TN D ln z TN D ln g 0 g1 exp 1
T
ND
N n,D
;
g 0
F
exp 1
1
g1
T
Число заряженных доноров
N D N D N n , D
ND
g
; D (T ) 1 - Фактор вырождения
g 0 донора
F
D (T ) exp 1
1
T
Отсчитываем энергию от дна зоны проводимости
D 1 0; N D
ND
D (T ) exp D
1
T

19.

Для наглядности пренебрежем возбужденными состояниями и вырождением
уровней
ND
g 0 1; g1 1 1 D 1 N D
exp D
1
T
3/ 2
mT
n 2 n 2 exp
T
2
3/ 2
m pT
E g
exp
n p nD
p 2
2
T
2
nD
nD
D
exp
1
T
3/ 2
mT
2 n 2
2
3/ 2
m pT
A 2
2
2
3/ 2
nD
;
A exp D 1
T
Для широкозонн ого полупроводника E g D
mT
2 n 2
2
Eg
1
exp
A
T
A A exp D 1 nD
T
A exp 1
T

20.

mnT
2
2
2
3/ 2
D
A A exp 1 nD ; A exp 1
T
T
a ) A exp D 1 D T
T
1 2
A
2 mnT
2
3/ 4
D
nD exp
2T
3/ 2
2
D 1
1 2
nD
T ln
2 2
2 mnT
Обычно множитель во втором слагаемом порядка 1 => второе слагаемое
порядка Т. Химический потенциал проходит между дном зоны проводимости и
основным донорным уровнем
mT
n 2 n 2
2
3/ 2
mT
A 2 n 2
2
3/ 2
1 2
2 mnT
2
3/ 4
exp D nD nD
2T

21.

mnT
2
2
2
3/ 2
D
A A exp 1 nD ; A exp 1
T
T
D
a ) A exp 1 D T
T
1 2
A
2 mnT
2
3/ 2
nD
1 2 2 3 / 2
nD
T ln
2 mnT
mnT
n 2
2
2
- Расположен ниже донорного уровня
3/ 2
A nD
- Все доноры ионизованны

22.

mnT
n 2
2
2
3/ 2
exp
T
3/ 2
Eg
exp
T
m pT
p 2
2
2
nсоб pсоб n
(0)
T
2
md ,n md , p
4 3 3
2
np nсоб
3/ 2
Eg
exp
2T

23.

Теплоемкость носителей заряда в полупроводниках
Рассматриваем невырожденный собственный полупроводник с простым
изотропным параболическим законом дисперсии
зона проводимости : Ec ,k , Ec
валентная зона : Ev ,k , Ev
E
k ,
k ,
k ,
Ec ,k ,
Ec ,k , F
exp
1
T
Ec ,k ,
Ec ,k , F
exp
1
T
Ec ,k ,
Ec ,k , F
exp
1
T
k ,
( p)
k
(n)
k
;
;
( p)
k
(n)
k
2k 2
2mn
2k 2
; m p mn 0
2m p
Ev ,k ,
Ev ,k , F
exp
1
T
1
Ev,k , 1
1
Ev ,k , F
exp
1
T
1
Ev,k , 1
Ev ,k , F
exp
1
T
k ,
k ,
E
k ,
v ,k ,

24.

E E0 E n , c E p , v
E0
E
v ,k ,
- Энергия полностью заполненной валентной зоны
k ,
En ,c
k ,
E p ,v
k ,
Ec ,k ,
F
E
exp c ,k ,
1
T
1
Ev,k , E F
v ,k ,
exp
1
T
V 2mn
E E g N e ,c 2 2
2
3/ 2
3/ 2
I 3 ( x) d
x
exp
0
1
- Энергия электронов проводимости
- Энергия дырок
V 2m p
I 3 ( ) 2 2
2
3/ 2
I 3 ( E g )

25.

Вырожденный электронный газ
I 3 ( x)
2
E
x 3 5/ 2
x
d 3 / 2 exp
T
exp
4
T
T
0
mn m p T
4 3 3
3/ 2
Eg
3T E g
exp
2T
2
E g 15 E g 1 E g
0
3
cV k B nT exp
2T 2
T 2 T
Наибольшее значение cV k B nT0 при T E g
cV( L )
cV
nT0
k B n0 ( L )
1
cV
n0
Электронно-дырочная теплоемкость в полупроводниках мала по сравнению с
решеточной

26. Магнитные свойства электронно-дырочной подсистемы полупроводников

Магнитные свойства электроннодырочной подсистемы
полупроводников

27.

Одночастичные состояния в магнитном поле. Квантование Ландау
Рассматриваем электроны проводимости. Для наглядности считаем, закон
дисперсии простым изотропным параболическим
p2
Ec ( p ) Ec
2m
p2
ˆ
В отсутсвие магнитного поля H B 0
2m
При наличии магнитного поля B Be z
e
Hˆ B Hˆ B 0 pˆ A H
c
g B
H
B sˆz взаимодействие собственного ма гнитного момента электрона с полем
e
g
B магнетон Бора; μˆ B sˆ; для св. эл нов g 2; В п / п может сильно меняться
2m c
из за спин орбитального взаим. Для упрощения записей пусть g 2
1
e 2
Hˆ B
pˆ A B B sˆz
2m
c
Hˆ , sˆ 0 E и s одновременно измермимы существует базис из общих собственных состояний
2
B
z
z
В качестве одноэлектронного базиса берем ПОН из стационарных состояний с
определенным значением проекции импульса
Hˆ B E
sˆz

28.

Hˆ B E
sˆz
sˆz ( s z ) r ; sˆz ( s z ) ( s z )
2
1
e 2 B
( s z ) r
B sˆz E
pˆ A
c
2m
2
1
e
pˆ A B B 2 r E r
c
2m
2
1
e
ˆ
ˆ
ˆ
H r r r ; H r
p A ; E B B 2
2m
c

29.

2
1
e
ˆ
p A (r ) (r ); E B B 2
2m
c
e
Пренебрежем вкладом A
c
pˆ 2
exp ikr
2k 2
(r ) (r ) k (r )
; k
2m
2m
V
k , ( ) ( s z ) k (r ); - Такая же как и в отсутствие магнитного
поля
k , 1 / 2
k
Ek ,
k B B, 1 / 2
k B B 2
k B B, 1 / 2
- Снялось вырождение по спину
Взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем
не меняет волновую функцию электрона и приводит к спиновому расщеплению
уровней (снятию вырождения по спину)
В=0
B
k , 1 / 2
k
k , 1/ 2

30.

e
A
c
Калибровка Ландау A By e x A 0
Учет
2
1
e
1
e
e
ˆ
ˆ
ˆ
p A
p A p A
2m
c
2m
c
c
1 2
e
e
e2 2
pˆ pˆ A Apˆ 2 A
2m
c
c
c
pˆ A Apˆ i A A i A 2 A 2 Apˆ
1
e
1 2 2e
e2 2
pˆ Apˆ 2 A
pˆ A
2m
c
2m
c
c
pˆ 2 eB
m e2 B 2 2
ypˆ x
y
2 2
2m mc
2 mc
2
Hˆ r r r ;
2
2
ˆ
m
p
eB
2
c
ˆ
- Циклотронная частота
ˆ
Hr
c yp x
y ; c
2m
2
mc

31.

2
2
ˆ
m
p
eB
2
c
ˆ
ˆ
H r r r ; H r
c ypˆ x
y ; c
2m
2
mc
Hˆ r , pˆ x 0
E , p x , p z одновременно измеримы
Hˆ r , pˆ z 0
Строим базис из стационарных состояний с определенными проекциями px и pz
Hˆ r r r
pˆ x r p x r
pˆ r p r
z
z
pˆ x r p x r
exp ik x x exp ik z z
r
( y ) Hˆ r r r
L
L
pˆ z r p z r

32.

2
2
ˆ
m
p
eB
c
Hˆ r r r ; Hˆ r
c ypˆ x
y 2 ; c
2m
2
mc
exp ik x x exp ik z z
r
( y)
L
L
2
exp ik x x exp ik z z pˆ y ( y )
m c2 2
2 k x2
2 k z2
k x c y ( y )
y ( y)
( y)
( y ) ( y ) 0
2
2m
2m
L
L 2m
pˆ y2 m c2 2
2 k x2
2 k z2
( y )
y k x c y
( y )
2
2m
2m
2m
m c2 2
2 k x2 m c2 2
2
2 2 k x2
y
y k x c y
k x c y
2
2m
2
m c2
m c2 2m
2
2
m c2 2
m c2
c
y 2k x
y k x
y k x 2 ;
2
m c
2
m c
eB
m c
pˆ y2 m c2
2 k z2
2 2
( y ) ЛГО
y k x ( y )
2
2m
2m
2 k z2
1
2 k z2
1
c n ; E B B 2 E
c n B B 2
2m
2
2m
2
y2 y
n ( y)
exp 2 H n
n
2
2 n!
1

33.

, k z , k x , n
Полный набор квантовых чисел одноэлектронных стац. сост.
exp ik z z exp ik x x
,k z ,k x ,n ( ) ( s z )
n y k x 2 ;
Lz
Lx
y2 y
n y
exp 2 H n
2
2 n n!
1
2 k z2
E ,k z ,n
c (n 1 / 2) B B 2 ; n 0,1,2, ;
2m
eB
c
с
;
mc
m c
eB
Происходит квантование движения электрона в плоскости, перпендикулярной
магнитному полю – квантование Ландау

34.

Парамагнетизм Паули. Парамагнитный вклад электронов проводимости
Как на магнитных свойствах электронного газа сказывается взаимодействие
собственного магнитного момента электрона с магнитным полем?
Пренебрегаем квантованием Ландау
ˆ μˆ ; μˆ e sˆ
M
i
m c
i
e
B Be z ; μ z
s z B 2
m0 c
Ek , k B B 2
B , 1 / 2
μz
M z B N 1/ 2 B N 1/ 2
B , 1 / 2
1
N
N k ,
E
k
k exp k ,
1
скаляр
(B) (B 0) СB 2
B аксиальный вектор
В широком диапазоне полей можно пренебречь зависимостью химического
потенциала от магнитного поля

35.

Ek , k B B 2 N
N k ,
k
exp E
k
1
F
1
k ,
1
N
F 2 B B
k exp k
1
Введем в рассмотение функцию
1
- Половина числа частиц в свободном идеальном
x
k exp k
1 газе с хим. потенциалом х
N ( 2 B B )
( x )
Рассмотрим случай B B
N ( )
( )
2 B B ( ) B B ( ) 2

36.

( )
N
(
)
B
B
1/ 2
( )
2
N ( ) B B
( )
N
(
)
B
B
1/ 2
( )
M B B N 1/ 2 N 1/ 2 2 B2
B
Металл. 0. Газ электронов проводимости вырожденный F ;
1
2m
( ) N V 2
2
3/ 2
2
2
1 3/ 2 2 T 2
n
m3 / 2
T
1/ 2
V
1
2
1/ 2
3 2
6
8
2
24
2
3/ 2
2
1
M
2
m
T
М
2
1/ 2
B
пара
B 3 2 1
V B
24
2 T
F 1
12 F
2
31/ 3 B2 m n01/ 3
М
пара 4 / 3
2
2 T
1
12 F
2
0 парамагнетизм
В металле очень слабая зависимость парамагнитной восприимчивости от
температуры (следствие вырожденности газа электронов проводимости)

37.

Невырожденный газ электронов проводимости в п/п
mT
n
2 n 2
V
2
N n ,c
3/ 2
exp
T
1
1n
mT
N n ,c V 2 n 2 exp
V
2
2T
T
2
( )
n
M B 2 B2
B V B2
T
3/ 2
(n)
пара
MB
n(T )
B2
B V
T
Зависимость от температуры - сильная

38.

Парамагнитный вклад свободных дырок
Если валентная зона полностью заполнена, то в соответствии с принципом Паули
у половины электронов магнитный момент “направлен” по полю, у половины –
против поля. => Суммарный магнитный момент полностью заполненной
валентной зоны=0.
При удалении электрона из одночастичного состояния (k,σ), магнитный момент
валентной зоны=магнитный момент электрона оставшегося без пары (в
состоянии (k,- σ))= μBB(-2σ)
Магнитный момент валентных электронов=Магнитный момент дырок.
Дырке нужно приписывать магнитный момент, направленный противоположно
магнитному моменту отсутствующего электрона
μˆ ( p )
s
( p)
z
e ( p)
sˆ
m0 c
( p)
z
B , 1 / 2
e
2 B 2
2m0 c
B , 1 / 2
M v , z B N ( p 1) / 2 N ( p ) 1/ 2

39.

N ( p ) N v(,pk ),
k ,
N
( p)
v , k ,
Ev(,nk), F
Ev(,nk), F
1
1
1
1 N F
N F
(n)
(n)
T
T
Ev ,k , F
Ev ,k , F
1 exp
1
exp
T
T
Нет магнитного поля
Простой изотропный параболический з н дисперсии
0
E
(n)
V ,k
Hˆ
(n)
0
p2
Ev
; m p 0 масса дырки
2m p
pˆ 2
Ev
2m p
В магнитном поле
Hˆ
1
e 2
Ev
pˆ A B Bsˆz
2m p
c
2
(n)
Пренебрегаем вкладом
Hˆ
(n)
e
A
c
pˆ 2
2
Ev
B Bsˆz
2m p

40.

Hˆ
(n)
pˆ 2
2 B
Ev
Bsˆz
2m p
( s z ) r ; sˆz
pˆ 2
B B 2 r E r
Ev
2m p
pˆ 2
r E Ev B B 2 r
2m p
pˆ 2
r E Ev B B 2 r
2m p
exp ikr
; Ev(,nk), Ev k( p ) B B 2 ;
V
2k 2 -Энергия свободной дырки
2m p
(r )
k( p )

41.

E
N
(n)
v ,k ,
( p)
v , k ,
Ev
( p)
k
B B 2 N
Ev(,nk), F
N F
T
( p)
v , k ,
k( p ) F Ev B B 2
N F
T
F Ev F E с Eс E v E g N
N N
( p)
k ,
( p)
v , k ,
k( p ) E g B B 2
NF
T
k( p ) E g B B 2
NF
T
k ,
( p)
v , k ,
k( p ) E g
p ( x) N F
T
k
N ( p ) p B B 2
- Половина числа дырок в свободном полупроводнике
с уровнем Ферми х
Случай B B 2
N ( p ) p
M v, z B N
( p)
пара
p
( p)
1 / 2
M v, z
B V
N
B B 2
( p)
1 / 2
2
2
p
B
1
2 B
V
2
p
B

42.

( p)
пара
p
1
2 B2
V
k( p ) E g - Половина числа дырок в свободном
p ( x) N F
полупроводнике с уровнем Ферми х
T
k
Вырожденный полупроводник
m pT
p
2
2
V
2
N p ,v
3/ 2
Eg
exp
T
m pT
Eg
1
V p
p ( x ) N p ,v V
exp
2
2
T
2T
2
2 n(T )
p (T )
( p)
(n)
пара
B2
; пара
B( n )
;
T
T
3/ 2

43.

Диамагнетизм Ландау свободных носителей в полупроводнике
Как квантование Ландау сказывается на газе свободных носителей
полупроводника?
Рассмотрим электроны проводимости. Для наглядность пренебрежем
взаимодействием собственного магнитного момента электрона с полем.
2
1
e
Hˆ
pˆ A
2m
c
B Be z ;
r, s z ( s z ) (r ); sˆz ( s z ) ( s z );
1
2
2
1
e
pˆ A (r ) E (r )
2m
c
Калибровка Ландау A Bуe x
y2 y
exp ik z z exp ik x x
1
2
k z ,k x .n (r )
n y k x ; n ( y)
exp 2 H n
n
L
L
2
2 n!
eB
2 k z2
1
c
E k z ,n
c n ; n 0,1,2, ; c
;
2m
2
mc
m c
eB
, k z , k x , n Полный набор квантовых чисел для одноэл. стац. состояний
Вырождение по проекции спина с кратностью g 2
Вырождение по k x

44.

Какова кратность вырождения по kx?
Центр осциллятора должен находиться внутри объема металла
L
0 kx 2 L 0 k x 2
L
g k x 1
2
kx
L / 2
L2
0 dk x 2 2
Находим плотность одночастичных состояний
g ( )
k z ,n
1
1
k z ,n
, k z , k x , n
1/ 2 k x n k z
2
L
2
dk
k z ,n
kz
z
k z ,n
2
L
2
dk
n
L
2
z
k z ,n
0
2 k z2 ~ ~ ~
k z ,n
n ; n n c ( n 1 / 2)
2m
2 k z2
2 k z2
~
~
dk z n
dk z n
2m
2m
2 k z2
~
dk z n
2m
0
1/ 2
2 2
2 2
k
k
2
m
dx
2m ( ~n )
~
~
z
z
x
2 dk z n
n x 2
2
2m
2m
x
~n
0
0
1/ 2
( ~n ) - особенности. Должны сказаться на измеряемых
V 2m
g ( )
2 2
2
2
величинах
~
n
n

45.

g ( )
1/ 2
2m
2 2
2
2
V
n
1/ 2
2m
T
2 2
2
2
V
1/ 2
2m
T
2 2
2
2
V
T
n
n
1/ 2
2m
2 2 2 2
V
~
( n )
T
d
g
(
)
ln
1
exp
~
n
T
~n
1
d
ln 1 exp
~
n
T
n
( ~n )
d
ln 1 exp
~
n
T
Jn; Jn
~n
d
1
ln
1
exp
~
n
T

46.

Jn
d
~n
1
ln
1
exp
~
n
T
Интегрируем по частям
Jn
~n
1
d
ln
1
exp
~n
T
~ ln 1 exp
2
lim
n
~
n
T
d
2 d ~n
ln 1 exp
d
T
~
n
n
2 lim ~n ln 1 exp
T
2 d ~n ln 1 exp
T
~
2
lim
~n exp
T
exp
T 1
~
2 d n
T
exp
~n
1
T
2
T
1
2
d ~n
T
exp
~n
1
T
~n
d ~n N F
T

47.

2
Jn
T
~n
d ~n N F
T
Вырожденный полупроводник
NF
exp exp
T
T
T
2
J n exp d ~n exp
T
T ~
T
n
Замена переменной x
J n 4T
1/ 2
~n
T
~n
d 2Txdx
exp exp dxx exp x T
T
T ~
2
2
1/ 2
~n
exp exp
T
T
n
~n
c
c
c n J n T 1/ 2 exp exp exp n ;
2
T
T
2
1/ 2
2m
T
2 2 2 2
V
n
exp
VTn
2
1 exp
mT
n 2 n 2
2
3/ 2
exp
T
Vm c 2m
3/ 2
Jn
T exp exp exp n
2 2 2
T
2 n 0
1/ 2

48.

exp
2 ; c
Tn
V
1 exp
T
W Ada
MB
B
B
W M B dB
A
I ) 1 c T - Уровни Ландау хорошо разрешены
Tn exp
V
2
2
MB
2 e
Tn 1
exp Tn
exp
V
B
2 B
2 mcT
2
2
m0
2
B n exp 0 диамагнетизм
2 2
mn
В невырожденном полупроводнике в квантующем магнитном поле (уровни
Ландау хорошо разрешены) диамагнитные свойства электронов проводимости
очень слабы!!! (сравните с металлом)

49.

exp
2 ; c ; M
Tn
B
V
1 exp
T
B
I ) 1 c T
- Уровни Ландау не разрешены
exp
2 / 2
/2
/2
2
3
1 exp
exp exp sh 1
2
2
2 2 3! 2
2
1
1 e 2
B2
B 1
1 1
6 2
6 2mn cT
6
2
1
1
1
6 2
2
2
m0 1 2
2 B
mn T
2
0
0 B
B 1 m0 B2 n 2
;
nT ;
B
V
V
V
V
V
6 mn T
2
MB
/ V
1 m0 B2 n
B 0 диамагнетизм;
V
B
3 mn T
2
(n)
диа
MB
1 m0 B2 n
B V
3 mn T
2
n
1 m (n)
(n)
(n)
пара
B2 диа
0 пара
T
3 mn
- Такое же соотношение, как и в металле

50.

Диамагнитный вклад дырок
Нет магнитного поля
Простой изотропный параболический з н дисперсии
0
E
(n)
V ,k
p2
Ev
; m p 0 масса дырки
2m p
pˆ 2
(n)
ˆ
H 0 Ev
2m p
В магнитном поле
2
1
e
1
(n)
ˆ
ˆ
H Ev
p A Ev
2m p
c
2m p
1
2m p
ˆ e
p A
c
2
ˆ e
p A
c
2
E
E Ev
( y k x 2p ) 2 y k x 2p
exp ik z z exp ik x x
1
H n
( s z )
exp
2
2 p
L
L
2 n n! p
p
E
(n)
v ,k z ,k x ,n
c , p
Ev
( p)
k z ,n
;
( p)
k z ,n
2 k z2
1
c , p n энергия дырки
2m p
2
eB
циклотронная частота дырки;
mpc
m p c , p

51.

Ev(,nk)z ,k x ,n Ev k( zp,)n
(n)
v
F
F Ev(,nk) ,k ,n
F Ev(,nk)z ,k x ,n
F Ev(,nk)z ,k x ,n
z
x
T ln exp
1 exp
T ln 1 exp
T
T
T
,k z ,k x ,n
,k z ,k x ,n
1 E
,k z ,k x ,n
,k z ,k x ,n
(n)
v ,k z ,k x ,n
F Ev(,nk)z ,k x ,n
T ln 1 exp
T
,k z ,k x ,n
1 число состояний в валентной зоне(константа)
,k z ,k x ,n
E
(n)
v ,k z ,k x ,n
энергия полностью заполненной валентной зоны(константа)
,k z ,k x ,n
(n)
v
F Ev(,nk)z ,k x ,n
Ev(,nk) ,k ,n Ev k( p,)n
T ln 1 exp
z x
z
T
,k z ,k x ,n
(n)
v
E g k( zp,)n
T ln 1 exp
T
,k z ,k x ,n
E g k( zp,)n
1
Вырожденный полупроводник exp
T
E g k( zp,)n
Eg
(n)
T d g p ( ) exp
v T exp
T
T
,k z ,k x ,n
g p ( ) exp k( zp,)n
,k z ,k x ,n

52.

Электроны проводимости Ev(,nk)z ,k x ,n Eс k( zn,)n ;
(vn )
F Ev(,nk)z ,k x ,n
k( zn,)n
T ln 1 exp
T ln 1 exp
T
T
,k z ,k x ,n
,
k
,
k
,
n
z
x
Вырожденный полупроводник exp 1
T
(n)
k z ,n
(n)
T d g n ( ) exp
v T exp
T
T
,k z ,k x ,n
g n ( ) exp k( zn,)n
,k z ,k x ,n

53.

Электроны проводимости
(cn )
1 2 2
T
2 mnT
g n ( )
3/ 2
n d g n ( ) exp
T
exp
(n)
k z ,n
,k z ,k x ,n
Электроны валентной зоны (дырки)
3/ 2
1 2 2
(n)
v T
n d g p ( ) exp
2 m pT
T
g p ( ) exp k( zp,)n
,k z ,k x ,n
k( n,)n
k
1
c ,n n
2mn
2
c , n
eB
mn c
c , p
z
2
2
z
mT
n 2 n 2
2
3/ 2
exp
T
mn m p
n p
( p)
k z ,n
2 k z2
1
c , p n
2m p
2
eB
mpc
m pT
p 2
2
2
( n)
( p)
(cn ) (c p ) диа
диа
3/ 2
Eg
exp
T

54.

I )квантующее магнитное поле с T
(n)
диа
c ,n
exp
2T
(n)
( p)
диа
c , p
exp
2T
( p)
(n)
диа
( p)
диа
(n)
пара
( p)
пара
(n) ( p)
(n)
пара
B2
T
( p)
пара
n
T
2
B
p
T
n p
2
B

55.

I ) уровни Ландау замазаны с T
2
2
(n)
диа
1 m0 ( n )
1 2 m0 n
пара B
3 mn
3 mn T
(n)
2
1 m0
(n)
(n)
2 n
диа пара B 1
T 3 mn
2
( p)
диа
2
1 m0 ( p )
1 2 m0 p
пара B
3 mp
3 mp T
2
m
p
1
( p)
( p)
( p ) диа
пара
B2 1 0
T 3 m p
2
2
2
m
m
1
1
(n)
( p)
0
0
B
1 n 1
p
T 3 mn 3 m p