2.52M

Category:

physics

Статистика электронов и дырок в полупроводниках в условиях термодинамического равновесия

1.

Курс лекций
Физика полупроводников и
полупроводниковых приборов
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ В
УСЛОВИЯХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
1

ГЛАВА 2. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И
ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ В УСЛОВИЯХ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
,
2.1. Плотность квантовых состояний
Энергетический спектр электронов количественно
можно описать "плотностью состояний".
Плотность состояний – это число состояний в
единичном интервале энергий для единичного объема
кристалла.
dN
N(E)=
dE
dN ( E ) N ( E )dE
d
2

3.

Многогранник минимального объема, построенный вокруг
начала координат в k-пространстве и содержащий все
возможные различные состояния, называют первой или
3
основной зоной Бриллюэна.

4.

dN ( E ) N ( E )dE
d
1. Изоэнергетические поверхности имеют форму
сферы с минимальной энергией Emin в центре
зоны Бриллюэна
2
d 4 p dp
4

5.

dN ( E ) N ( E )dE
d
1. Изоэнергетические поверхности имеют форму
сферы с минимальной энергией Emin в центре
зоны Бриллюэна
2
d 4 p dp
p2
E (k ) Ec
*
2m n
p 2 2mn* ( E Ec ); p (2mn* )1 / 2 ( E E c )1 / 2
d 4 p dp 2 (2m ) ( E Ec ) dE
2
* 3/ 2
n
1/ 2
5

6.

7.

8.

Случай М сферических поверхностей,
расположенных на расстоянии p0 от
центра зоны Брюллеэна.
*
2m n 3 / 2
N ( E ) M 4 ( 2 ) ( E E c )1 / 2
h
8

9.

Случай M эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей
2
x
p
2
y
2
z
p
p
E (k ) Ec
2m1 2m2 2m3
Где m1, m2 и m3 – компоненты
тензора эффективной массы
Уравнение эллипсоида в канонической форме
где полуоси эллипсоида:
p2
p2
p2
x
2
1
a
2
y
a2
a
z
2
3
1
ai [ 2 mi ( E Ec )]
1/ 2
Объем эллипсоида с полуосями а1, a2, a3 равен:
4
4
a1 a 2 a3
(8m1 m2 m3 )1 / 2 ( E E c ) 3 / 2 , а тонкого слоя:
3
3
dГ 2 (8m1 m2 m3 )
1/ 2
( E Ec )
1/ 2
dE
9

10.

учитывая, что минимумов энергии может быть М, получим:
dГ M 2
1/ 2
1/ 2
dN M 3
(
8
m
m
m
)
(
E
E
)
dE
1 2 3
c
3
h
h
Если введем понятие эффективной массы плотности
квантовых состояний для электронов :
*3
n d
m
M (m1m2 m3 )
2
*
Тогда:
2m n d 3 / 2
1/ 2
N ( E ) 4 ( 2 ) ( E Ec )
h
эллипсоидальную поверхность равной энергии зоны
проводимости можно заменить сферой, если ввести
эфф. массу плотности состояний для электронов
10

11.

2.2. Функции распределения частиц. Функция Ферми-Дирака
Функцией распределения в стат. теории называют функцию, которая
в условиях термодинамического равновесия при заданной Т пропорциональна вероятности того, что некоторая частица занимает
определенный энергетический уровень Е.
11

12.

2.2. Функции распределения частиц. Функция Ферми-Дирака
1
F (E)
e
E EF
kT
1
1. E EF F ( E) 0,5
2. T 0
3. E E
E EF
F (E) 1
E EF
F (E) 0
F kT
4. E F E kT
5.
E E F
F ( E ) exp
kT
E EF
F ( E ) 1 exp
kT
12

13.

14.

N ( E ) ~ E1/ 2
N (E )
*
2m
N ( E ) 4 ( 2n )3 / 2 ( E Ec )1/ 2
h
F (E )
n(E), p(E)
1
F (E)
E EF
exp
1
kT
Emax
n N ( E ) F ( E )dE
Emin
14

15.

N ( E ) ~ E1/ 2
F (E )
N (E )
3/ 2
2m
1/ 2
n0 4 2 ( E Ec ) e
h
Ec
*
n
E EF
kT
1
2kTm
n 0 4
2
h
*
n
n(E), p(E)
1
dE
3/ 2
d
1/ 2
e 1 N F ( )
c 1/ 2
0
15

16.

2kTm
n 0 4
2
h
*
n
3/ 2
2 kTm
NC 2
2
h
*
n
1 / 2 d
e 1 N F ( )
c 1/ 2
0
3/ 2
F1 / 2 ( )
2
1 / 2 d
0 e
1
16

17.

Если распределение носителей заряда по энергиям в полупроводнике
подчиняются статистике Больцмана, то полупроводник называют
невырожденными.
0.75
0.60
Максвелла-Больцмана
Ферми-Дирака
0.45
F(E)
Невырожденный полупроводник, это п/п-к,
уровень Ферми в котором расположен в
запрещенной зоне на расстоянии большем
kT от ее границ ([ГОСТ 22622 77]),
вследствие чего носители заряда в этом
полупроводнике подчиняются статистике
Максвелла Больцмана.
0.30
0.5 kT
0.15
0
1 kT
0
1
2
E-EF/kT
3
4
Невырожденными являются такие полупроводники, у которых
уровень Ферми расположен внутри запрещенной зоны на расстоянии
более нескольких kT от границы с разрешенной зоной.
В невырожденном полупроводнике концентрация примесей настолько мала,
что собственные свойства полупроводника являются определяющими.
Si : n ≤ 3 e18 cm-3
17
5

18.

Невырожденный
полупроводник
1 или
E F Ec kT
n0 N c e
E F Ec
kT
18

19.

20.

Полупроводники, у которых распределение свободных
НЗ по энергетическим состояниям описывается
функцией Ферми-Дирака, называются вырожденными.
Вырожденный полупроводник — это п/п-к, концентрация примесей в
котором настолько велика, что собственные свойства практически не
проявляются, но преобладают свойства примеси:
-У вырожденного полупроводника уровень Ферми лежит внутри
разрешённых зон или внутри запрещённой зоны на расстояниях не
более kT от границ разрешённых зон.
-Вырожденные полупроводники получают путём сильного легирования
собственных полупроводников.
Si : n ≥ 5 e18 cm-3
20

21.

Сильно-вырожденный
полупроводник
Невырожденный
1
полупроводник
n0 N c e
E F Ec
kT
5 или
E F Ec 5kT
8 2m
2
n0
3 h
*
n
3/ 2
( E F0 Ec ) 3 / 2
21

22.

Невырожденный
полупроводник
n0 N c e
E F Ec
kT
Сильно-вырожденный
полупроводник
8 2mn*
2
n0
3 h
3/ 2
( E F0 Ec ) 3 / 2
Вырожденный
полупроводник
-1<η<5
NC
n0
0.17 e
22

23.

n0 N c e
E F Ec
kT
p0 N V e
EV E F
kT
2 kTm
N C 2
2
h
*
n
3/ 2
2 kTm
NV 2
h2
*
p
3/ 2
2.5. Собственные и примесные полупроводники
2.5.1. Закон действующих масс (основное уравнение полупроводника)
23

24.

2.5.1. Закон действующих масс (основное уравнение полупроводника)
Eg
n0 p0 ni pi const AT exp
kT
2
2
3
Произведение концентраций основных и неосновных
носителей заряда в невырожденном полупроводнике при
фиксированной температуре является постоянной
величиной, которая не зависит от концентрации
введенной примеси и равна квадрату концентраций
собственных носителей заряда при той же температуре.
24

25.

2.5. Собственные и примесные полупроводники
2.5.2. Собственный полупроводник: концентрация носителей
заряда и положение уровня Ферми
2 k
ni 2 2
h
Eg
3/ 2
*
n
* 3/ 4
p
(m m ) T
3/ 2
e
Как определить ширину
запрещенной зоны?
Построение Аррениуса!
25
2 kT

26.

Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике
26

27.

mn*<mp*
mn*=mp*
mn*>mp*
Изменение уровня Ферми с температурой в собственном полупроводнике.
27

28.

2.6. Зависимость уровня Ферми от концентрации
примесей и температуры для невырожденного
полупроводника
Зависимость EFот концентрации.
Зависимость EFот температуры.
;
28

29.

Нужно решить уравнение общей
электронейтральности
E
EC
Ed
n0
n0 N c e
E F Ec
kT
p0 N V e
EV E F
kT
Nd, nd, pd
Ea
EV
Na, na, pa
nd = ?
pd = ?
na = ?
pa = ?
p0
Nd – концентрация атомов донорной легирующей примеси
пd.- концентрация атомов донорной примеси в нейтральном
зарядовом состоянии = электроны на донорных уровнях.
pd.- концентрация атомов примеси в ионизованном состоянии
(положительный заряд) = электроны в зоне проводимости.
рd = Nd - nd
29