Similar presentations:
Упругие волны в твердом теле. Теория упругости
1.
Упругие волны в твердом теле2.
Теория упругости: некоторые понятияМеханическое напряжение в т.т. –
Сила действующая между двумя смежными
элементами на бесконечно малом участке
площади = d F/d S
n = dFn /d S
t = dFt /d S
Fn проекция на нормаль к S
Ft проекция на плоскость касательную к S
n x nx y n y z nz
n = 1,2,3
3.
Тензор напряжений11 12 13
ij 21 22 23
32
33
31
ij ji
4.
Тензор напряжений0
11 0
0 22 0
0
0 33
Для любой точки абсолютно упругого тела существует
декартовая система координат в которой тензор
упругих напряжений является диагональным.
5.
Смещение и деформацияU 0
0
U cмещение
U ( x x) U ( x)
x
U
деформация
x
U 0
0
U 0
0
6.
Вектор смещенияU (U1 ,U 2 ,U 3 )
Деформации по направлению осей
Нормальные компоненты
U 3
U1
U 2
11
, 22
, 33
x1
x2
x3
7.
U1x2
U 2
x1
Деформации сдвига
1 U1 U 2
, 13
12
2 x2
x1
1 U 2 U 3
23
2 x3
x2
1 U1 U 3
,
2 x3
x1
1 U i U j
ij
2 x j
xi
8.
Связь между напряжением и деформациейИзотропное тело
E – модуль Юнга
– коэффициент Пуассона
= E
n =
1
11 11 22 33
E
1
22 22 11 33
E
1
33 33 11 22
E
9.
Связь между напряжением и деформациейG – модуль сдвига
1
12 12
G
1
23 23
G
1
31 31
G
10.
Связь между напряжением и деформацией= n + t
0
11 0
n 0 22 0
0
0
33
0 12 13
t 21 0 23
0
32
31
= n+ t
0
11 0
n 0 22 0
0
0
33
0 12 13
1
t 21 0 23
2
0
32
31
11.
Связь между напряжением и деформацией0
11 0
1 0 0
Tr ( )
E
n
0 22 0
0 1 0
1
1
0
0
0
0
1
33
Tr ( ) 11 22 33
E
Tr ( )
Tr ( ) Tr ( ) 11 22 33
1 2
E
Tr( )
n
n
Ι
1
1 2
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
12.
Связь между напряжением и деформацией0 12 13
t G 21 0 23 2G t
0
31 32
В изотропном теле
G = E/2(1 + )
E
Tr( )
Ι
1
1 2
1
Tr( )
Ι
E
E
13.
Связь между напряжением и деформациейij Cijkl kl
Закон Гука, анизотропное тело
Тензор упругих постоянных
Cijkl 81 компонента
Сijkl С jikl , Сijkl С jilk , Сijkl Сlkji
21 независимая компонента
11 1
12, 21 6
13, 31 5
23, 32 4
С1122 С12
С1123 С14
C11
C21
C
Cij 31
C41
C
51
C
61
C12
C22
C32
C42
C52
C62
C13
C23
C33
C43
C53
C63
C14
C24
C34
C44
C54
C64
C15
C25
C35
C45
C55
C65
C16
C26
C36
C46
C56
C66
14.
Кубические кристаллыИзотропные тела
Di ij E j eijk jk
Пьезоэлектрики
Тензор
пьезоэлектрических
постоянных
ij
Ui
2
t
x j
2
Ei
xi
С11, С12 и С44
С44= 0,5 (С11 + С12)
ij Cijkl ( E ) kl ekij Ek
Волны
Uj
2
t
2
Uk
Cijkl
ekij
xi xl
xi xk
divD 0
2
Uk
eikl
xi x j
xi xl
2
ij
2
2
15.
Фононные возбуждения в твердом теле.2
2M
( R ) [ N ( R ) U ( R )] ( R ) E ( R )
16.
КвазичастицыТвердое тело сложная система, состоящая из
сильно
взаимодействующих
частиц
электронов и ионов. Квантово-механическое
описание
движения
и
энергетических
параметров этих взаимодействующих друг с
другом частиц представляет значительные
трудности из-за огромного количества этих
частиц.
Для преодоления сложностей, возникающих
при
описании
большого
количества
взаимодействующих
частиц,
была
предложена
концепция
квазичастиц.
В
основе этой концепции лежит попытка
описать твердое тело в виде суммы
независимых друг от друга согласованных
17.
Колебательные свойства кристалловM·d2 un /dt2 = - f ·( un - un-1) + f ·( un+1 - un)
M·d2 un /dt2 = f ·( un+1 + un-1 - 2 ·un)
u(x,t)=A·exp(i(kx- t))
x = an
un=A·exp(i(kan- t))
-M 2 = - f ·{2 - exp(-ika) - exp(ika)} =
- 2 ·f ·{1- cos(ka)} = 4·f ·sin2(ka/2)
2 =4·( f / M) ·sin2(ka/2), -> = max ·|sin(ka/2)|
max =2·( f / M)1/2
18.
Колебательные свойства кристалловКвазичастицы фононы
= max ·|sin(ka/2)|
= 2 /k
min = 2a
max =
k`= k + 2 m/a
un`=A exp(i(k`an- t)) =A exp(i(k an- t)) exp(i2 mn) = un
19.
Колебательные свойства кристалловУзлы n заняты ионами с массой M, а узлы n` ионами
с массой m , так чтобы M > m.
Расстояние между одинаковыми ионами а.
Коэффициент квазиупругой силы между ионами
находящимися в узлах n и n` f1 , а между ионами n и
n`-1 f2.
f2
f1
20.
Колебательные свойства кристалловM·d2 un /dt2 = - f2 ·( un - un`-1) + f1 ·( un’ - un)
m·d2 un` /dt2 = - f2 ·( un` - un+1) + f1 ·( un - un`)
un = A exp(i(kan - t ))
un-1 = un exp(-ika)
un` = B exp(i(kan - t ))
un+1 = un exp(ika)
un` = (B /A) un
-A · ( 2 - ( f2 + f1 ) / M )= B· ( f1 + f2· exp(-ika))/ M
-B · ( 2 - ( f2 + f1 ) / m )= A · ( f1 + f2· exp(ika))/ m
21.
Колебательные свойства кристалловA / B =( f1+ f2· exp(-ika))/(( f2 + f1 ) - M 2 )
=(( f2 + f1 ) - m 2 )/( f1 + f2· exp(ika ))
Закон дисперсии
4 - {( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)} 2 + 4 f2 f1 sin2(ka/2) = 0
пусть 02 = ( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)
21,2 = ( 02/2)(1 {1 - 16( f2 f1 / 04 )sin2(ka/2)}1/2
22.
Колебательные свойства кристалловВведем обозначение
16( f2 f1 / 04) = 16 { Mm /( M + m)}2 { f2 f1/(f2 + f1 )2} = 2
21 = ( 02/2)(1 - {1 - 2sin2(ka/2)} 1/2)
22 = ( 02/2)(1 + {1 - 2sin2(ka/2)} 1/2)
- /a <k< /a
1(0) = 0; акустические фононы
1( /a) = ( 0/ 2)(1-(1- 2)1/2) 1/2
2(0) = 0; оптические фононы
2( /a) = ( 0/ 2)(1 + (1- 2)1/2) 1/2
2(0) = 0 > 2( /a) > 1( /a) > 1(0)
23.
Колебательные свойства кристалловВ окрестности k=0
1 0,25 0 ka k
2 0(1 - ( ka)2/32)
21 = ( 02/2)(1 - {1 - 2sin2(ka/2)} 1/2)
22 = ( 02/2)(1 + {1 - 2sin2(ka/2)}1/2)
Характер колебаний
атомов при k 0
un / un’ = A / B =( f1 + f2· exp(-ika)) /(( f2 +f1 ) - M 2)
1 (0)=0
un / un’ = 1
24.
Колебательные свойства кристалловun / un’ = A / B =( f1 + f2· exp(-ika)) /(( f2 +f1 ) - M 2)
В окрестности k=0
2 = 0
02 = ( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)
un / un’ =(f1 + f2) /((f2 +f1 )- M 02) =
(f1 + f2) /((f2 +f1 )- (f2 +f1 )( M + m)/( m)) =
=1/(1 - ( M + m)/ m) = - m/M
un M + un’ m = 0
25.
Колебательные свойства кристалловmin = 2a
2( /a) = ( 0/ 2)(1 + (1- 2)1/2) 1/2
1( /a) = ( 0/ 2)(1-(1- 2)1/2) 1/2
26.
Увлечение электронов акустическимифононами
Смещение иона U=U0·cos( t- kx)
Деформация dU/dx= U0k·sin( t- kx)
Появляются области сжатия и растяжения
Изменяется плотность заряда
Изменяется
Появляется
распределение
Электрическое поле
потенциала V и
E = -dV/dx
потенциальная
энергия эл-на. e
Бегущая эл. волна!!!
W(x) = - eV(x)
27.
Увлечение электронов акустическимифононами
в металлах
бегущие со скоростью
звука «потенц. ямки»
в полупроводниках
бегущая со скоростью
звука модуляция Eg
Затухание акустической
волны
28.
Акустоэлектрический эффектЗаряды накапливаются на краях полупроводника
возникает эл. поле E
Поток фононов с энергией q и импульсом q/vзв
Поток энергии W=nq vзв q
Поток импульса p=W/ vзв =nq q
W(1 - dx)
W
Электроны получают импульс
Wdx / vзв <F>ne dx
<Fne>ne dx = eEne dx
dx
E= W/ enevзв = W/ vзв
29.
Акустоэлектрический эффектЗаряды накапливаются на краях полупроводника
возникает разность потенциалов
W
U Edx
L
vзв
0
L
Если замкнуть цепь, то пойдет ток
j U / L
W
vзв
30.
Усиление акустических волнАкустическая волна + внешнее электрическое поле
31.
Дифракция света на акустических волнахзв 200 МГц
+ 0,03
+ 0,02
+ 0,01
0,00
-0,01
l
радиан
c l
c зв
1 arcsin
n vзв
-0,02
-0,03
vзв 5.8 км / c
c 1
sin m sin 0 m
n зв
0 0
зв
зв
v зв
c 1
sin 1
n зв
32.
Дифракция света на акустических волнахd зв
l зв
d
2 зв sin 0
c
n
c
2 0
зв n
l
зв
зв
v зв
c зв
nvзв