Элементарные возбуждения и энергетический спектр конденсированного тела (лекции 15)

1.

Элементарные возбуждения и энергетический спектр
конденсированного тела
Новая концепция - переход от индивидуальных степеней свободы
отдельных атомов, молекул, электронов, к коллективным степеням
свободы – элементарным возбуждениям (квазичастицам)
ε, p
( p)
p k
суммарная энергия
конденсированного тела:
ε ω
0 св кв
- энергетический спектр элементарных возбуждений (квазичастиц)
Виды энергетических спектров конденсированных тел
p
2
p2
~ p2
p
p
p

2.

Колебания кристаллической решетки
Колебания в одномерной цепочке (один атом в ячейке)
M u n Fn i
i
Fni α(n, i) (u n ui )
Fn, n 1 α (n, n 1)(u n u n 1 )
n-1
n
Fn 1, n α(n 1, n) (u n 1 u n )
n+1
..
M u n α (n, n 1)(u n u n 1 ) α (n 1, n)(u n u n 1 )
M u n α(2u n u n 1 u n -1 )
α(n, n 1) α(n 1, n) α
Вид продольных колебаний:
u n u k exp iω (k)t ikrn u k exp iω (k)t ikna
ω2 (k)
α
2 eika e ika
M

3.

ω 2 (k)
2
1 cos(ka) 4 α sin 2 (ka/2 )
M
M
При
ka 1
ω(k) ωM sin( a/ )
(длинные волны) : ω(k) kaω0
где cs ω0a
Некоторые оценки :
где ωM 2 α/M
a~10 –8 cм;
M 2 10 24 г
cs k
это обычные
звуковые волны в
кристалле
акустическая ветвь
α 1,6 10 12 эрг/10 16 см 1,6 10 4 эрг/см 2
ω
ω max 2 1,6 10 4 /2 10 24 6 1013 сек
f max ωmax /2π 1013 Гц
k
c / f max 3 1010 / 1013 30 мкм

4.

Колебания в одномерной цепочке (два атома в ячейке)
Исходные уравнения колебаний атомов:
M
m
M
m
M
Решение уравнений колебаний атомов:
u n,l u 0n,l exp i( ωt krn,l )
m u n α(u n u l 1 ) α(u n u l )
..
..
M u l α (u l u n ) α (u l u n 1 )
..
2α
cos(ka)u 0l 0
m
2α
0
2
0
u l (ω 2α / M)
cos(ka)u n 0
M
u 0n (ω 2 2α /m)
(ω2 2α /m)( ω2 2α /M) (4α 2 /mM)cos 2 (ka) 0
α
ω
M*
2
α2
4α 2
sin 2 (ka)
2
M * mM
M* mM/(m M)
ω _ ω _ (k)
синфазные колебания (в фазе) – акустическая ветвь
ω ω (k)
асинфазные колебания (в противофазе) – оптическая ветвь

5.

Акустические и оптические моды
ω
ωmax
ω min
- акустическая ветвь
- оптическая ветвь
α
ω
M*
2
Если ka 1
ω
2
ω 2_
При ka π/2
ωmax
_
α2
4α 2
2
sin
(ka)
2
M * mM
2α
M *2 (ka) 2 / a
0
1
M*
mM
На границе ka π/2
2α
(ka) 2
( ω / k) ( ω _ / k) 0
(m M)
1
1
1
1
2
ω ( π/2) α
2
2
m
M
m
M
max
2 α/M максимум
ωmin
2α /m ω _
на акустичес кой ветви
u n /u l
/a
2α cos(ka)
exp(ika)
2α mω 2
При k 0
ωmax
2α /M *

6.

Фононы в конденсированном теле
Понятие фононов
T1 > T2
T1
ε, p
T2
Тепловое возбуждение
конденсированного
тела
Элементарными возбуждениями
в кристаллических телах являются коллективные
смещения атомов решетки из положений равновесия
Переход от индивидуальных движений атомов к
коллективным степеням свободы
Теорема:
p k
ε ω
!!!
В любой системе взаимодействующих атомов элементарными возбуждениями
(если система возбуждена достаточно слабо, например, находится при низких
температурах) являются коллективные смещения атомов из положений равновесия.

7.

Фононный газ
ФОНОНЫ (И.Е.Тамм, 1930г.) – низколежащие (по энергетическим уровням)
коллективные возбуждения кристаллической решетки
В конденсированном теле при нулевой температуре фононы отсутствуют
(положение атомов в узлах – основное состояние конденсированного тела - является
вакуумом для фононов), а их появление связано с нагревом тела
С ростом температуры число фононов растет и их число в коллективном движении атомов является весьма
большой (макроскопической) величиной. Таким образом, возникает картина большого числа фононов как
носителей коллективного возбуждения конденсированного тела. Поскольку фононы могут возбуждаться
поодиночке, а значит, имеют целый спин, то они являются бозе-частицами и подчиняются в ансамбле
статистике Бозе-Эйнштейна. Следует также заметить, что введение фононов только тогда имеет смысл, если
они между собой либо вообще не взаимодействуют, либо взаимодействуют слабо. Следовательно, сам ансамбль
фононов можно рассматривать как газ. В этом случае общую энергию конденсированного тела можно
рассматривать как сумму энергии основного состояния – энергия связи атомов в положении равновесия и
энергия нулевых (квантовых) колебаний атомов (вакуум для фононов) и суммы энергий отдельных фононов:
E E0
ε(k) E 0
k
ω(k)
k
В кристаллах может быть несколько типов фононов (например, акустические
и оптические, причем при наличии в ячейке j атомов – 3j типов фононов

8.

В состоянии термодинамического равновесия среднее число фононов
ветви i с волновым вектором k
n ik
1
1
n ik n ik (ε i (k)) exp ε i (k)/k BT 1 exp ωi (k)/k BT 1
С точки зрения квантовой (и классической) механики, нормальные колебания решетки
ведут себя как набор независимых гармонических осцилляторов. Роль координаты
осциллятора играет при этом амплитуда колебания, число фононов является уровнем
.
энергии осциллятора
На каждое колебание приходится средняя энергия
При высоких температурах k
kBTT
B
ε i (k)n ik ωi (k)n ik
число фононов пропорционально температуре
nik k BT/ ωik
Если
kBT
среднее число фононов экспоненциально мало:
n i (k) exp (- ωik /k BT)

9.

Статистика и плотность состояний фононов
Свободная энергия тела есть:
3Nj
F F0 k BT ln 1 exp ε k /k BT
k
3Nj
k
0
f(ω ) f(ω ) g(ω )dω
g(ω )
- плотность состояний фононов (число состояний фононов на интервал частот
3Nj
g
ν 1
3j
ν
0
ν
(ω ) 3Nj
F F0 k BT ln 1 exp ω/k BT g ν (ω )dω
dω ).

10.

Теплоемкость кристаллической решетки
c
E
T
E F T( F/ T)
3j
E F0 exp / k BT g ( ) 1 exp / k BT d
1
1 0
Нужно знать g ν (ω ) !!!
1). случай высоких температур ω i (k) k BT
E 3jNk BT
c 3jNk B 3N 0 k B
закон Дюлонга-Пти

11.

2) случай низких температур
ων (k) csν k
1,2,3
g ν (ω ) = g l (ω ) g t (ω )
k
Число собственных колебаний в спектре с абсолютными значениями в интервале dk
Минимальный объем, приходящийся на одно значение k
равен (2π ) 3 / V (V –
объем тела), следовательно, число мод n(k) в интервале dk есть:
n(k)dk (V/2π3 ) 4π k 2dk
Для акустических фононов ωl c sl k, ω t c st k , поэтому получаем
g l (ω )dω Vω 2 dω /(2π 2 c 3l ), g t (ω )dω 2Vω 2 dω /(2π 2 c 3t )
(двойка в последней формуле отражает две поляризации поперечных акустических
фононов). Отсюда получаем:

12.

g(ω ) g l (ω ) g t (ω )
V
2π 2
1
1
3V
3 3 ω2 2 3 ω2
2π c
cl c t
3/ c 3 (c l 3 c t 3 )
3Vk BT
2
F F0
ln
1
exp(
ω/k
T)
ω
dω
B
2 3
2π c 0
x3
π4
I
dx
exp(x) 1
15 x ω/k BT
0
π 2 V(k B T) 4
F F0
30 3 c 3
4π 2 Vk 4BT3
E
3
c
αT
T
10( c)3
закон Дебая, 1912г.

13.

Дюлонг-Пти
ΘD ωD /k B
Дебай
температура плавления). В этом случае,
очевидно, невозможно классическое описание
поведения атомов конденсированного тела.
T/θ D
D , K
- дебаевская частота
Почти всех веществ температура Дебая
существенно ниже температуры плавления.
Вместе с тем, существуют кристаллы (в
частности, He под давлением), когда
выполняется условие D Tm ( Tm -
D , K
Вещество
ω max ω D
- температура Дебая
Pb
Na
Al
Li
Si
Be
B
88
150
394
400
625
1000
1250

14.

Фононная теплопроводность диэлектриков
Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
q (тепловой поток)
Th
Tc
L
q S
Th Tc
dT
S
- закон Фурье
L
dx
- коэффициент теплопроводности
Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности в конденсированном теле –
фононный механизм переноса тепла
2T
T
2 c ph
x
t

15.

Энергия
Параболический потенциал
гармонического осциллятора
ro
Расстояние
Уравнения движения в приближении
ближайших соседей:
d 2 un
M
un 1 un 1 2un
2
dt
Решения уравнений движения:
un uo exp i t exp inka
U0
M
Гармоническое приближение –
фононы не взаимодействуют !!!
a
u n-1
u
n
u n+1
2 ( / m) 2 exp ika exp ika 2( / m) 1 cos ka
2
1 cos ka
1
m
2

16.

Взаимодействие фононов
k1
k2
k3
Взаимодействие фононов – эффект
негармоничности колебаний
конденсированного тела – нет
параболической потенциальной ямы
U
1 2U
1 3U
2
3
U ( x) U ( x0 )
( x x0 )
(
x
x
)
(
x
x
)
...
0
0
2
3
x
2 x
6 x
Негармоничность
(ангармоничность)

17.

ph
1
1
c ph c s ph c ph c s2 ph
3
3
ph
Увеличение концентрации
дефектов
Механизмы рассеяния фононов:
• Рассеяние на границах образца;
• Рассеяние на дислокациях и дефектах;
• Фонон-фононное рассеяние
ph T
границы
0.01
d
дефекты
0.1
фононное
рассеяние
1.0
T / D

18.

Уравнение Больцмана для фононов
Функция распределения фононов: f = f(r,p,t)
- вероятность фононам иметь в момент времени t импульс p в точке
r
В термодинамическом равновесии : f = f(r,p,t) = f0, т.е. для ферми-частиц – функция
распределения Ферми-Дирака, для бозонов – Бозе-Эйнштейна
В условиях нарушения термодинамического равновесия:
f
f
v r f F p f
t
t st
Приближение времени релаксации
fo f
f
t st p
f fo
e
t
t