Неопределенный интеграл

1. Здравствуйте!

Лекция №1

2. Часть 1

Неопределенный интеграл

3.

Первообразная
Определение 1. Функция F (x ) называется первообразной
функции f (x) , если F ( x) f ( x) .
Пример.
Рассматриваемый ниже пример очень важен для
1
дальнейшего. Пусть f ( x ) . Утверждается, что в этом случае
x
первообразная F ( x) ln | x | .
Проверяем:
1
Пусть x 0 . Тогда | x | x и (ln | x |) (ln x) .
x
| x | x
Пусть
теперь
Тогда
и
x 0.
1
1
(ln | x |) (ln( x))
( 1) ,
( x)
x
1
так что всегда (ln | x |) .
x

4.

Теорема. Если F1 ( x) и F2 ( x) две первообразные одной и
той же функции f (x) , то F1 ( x) F2 ( x) C .
Доказательство.
Действительно, в этом случае [ F1 ( x) F2 ( x)] f ( x) f ( x) 0 и
поэтому, согласно условия постоянства функции, F1 ( x) F2 ( x) C .
Следствие. Если F (x ) есть одна из первообразных функции
f (x) , то любая другая первообразная имеет вид F ( x) C .

5.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции
f (x) называется неопределенным интегралом от f (x) и
обозначается f ( x) dx .
Таким образом
f ( x)dx F ( x) C ,
где F (x ) есть любая из первообразных функции f (x) .
Термины.
f (x) подынтегральная функция;
f ( x)dx подынтегральное выражение.

6.

Свойства неопределенного интеграла
1. d
f ( x)dx f ( x)dx .
Действительно,
d
если
f ( x)dx F ( x) C ,
f ( x)dx d F ( x) C F ( x)dx f ( x)dx .
то
2. dF ( x) F ( x) C
Действительно, dF ( x) f ( x)dx F ( x) C .
Подытоживая эти два свойства можно сказать, что стоящие рядом
знаки d и взаимно уничтожаются, то есть операция
дифференцирования и операция интегрирования есть взаимно
обратные операции.

7.

f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx .
Действительно, пусть f ( x)dx F ( x) и g ( x)dx G ( x) . Но тогда
3.
F ( x) G( x) F ( x) G ( x)
f ( x) g ( x)
и поэтому
f ( x) g ( x) dx F ( x) G( x) f ( x)dx g ( x)dx .
4. c f ( x)dx c f ( x)dx .
Действительно,
пусть
f ( x)dx F ( x) .
[cF ( x)] c F ( x) c f ( x) и поэтому
c f ( x)dx c F ( x) c f ( x)dx .
Но
тогда

8.

Таблица неопределенных интегралов
1. 0 dx C
6. cos xdx sin x C
dx
x 1
tg x C
7.
2. x dx
C,
2
cos x
1
1
dx
dx x C
8. 2 ctg x C
sin x
dx
arcsin x C
dx
3. ln | x | C
9.
2
x
1 x
arccos x C
arctg x C
ax
dx
x
a
dx
C
4.
10
2
ln a
1 x arcctg x C
x
x
e
dx
e
C
11. sh xdx ch x C
5. sin xdx cos x C 12. ch xdx sh x C

9.

Основные приемы интегрирования
Замена переменных
Пусть надо вычислить f ( x) dx . Перейдем от переменной х к
переменной t по формуле x (t ) , так что t ( 1) ( x) . Тогда
dx (t )dt и мы получаем
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt .
Пусть нам каким-то способом удалось вычислить последний
интеграл и он оказался равен G (t ) , то есть f ( (t )) (t )dt G (t ) .
Тогда утверждается, что
( 1)
f
(
x
)
dx
G
(
( x)) .

10.

Докажем это. Итак
1. f ( (t )) (t )dt G (t ) . Это значит, что G (t ) f ( (t )) (t ) .
2. Найдем производную от G( ( 1) ( x)) . Вспоминая формулу
производной от сложной функции, а затем формулу производной
от обратной функции, получим
( 1)
( 1)
( 1)
[G( ( x))] G ( ( x)) ( x)
1
( 1)
( 1)
f ( ( ( x))) ( ( x))
f ( x) ,
( 1)
( ( x))
так как сомножители ( ( 1) ( x)) сокращаются, а ( ( 1) ( x)) x .
Следовательно, f ( x)dx G ( ( 1) ( x)) .

11.

Эта формула является основным методом вычисления
неопределенных интегралов. Ее пишут в виде цепочки
( 1)
f
(
x
)
dx
f
(
(
t
))
(
t
)
dt
G
(
t
)
G
(
( x)) .
Интегрирование по частям
Пусть даны две дифференцируемые функции u (x ) и v(x) .
Тогда, по свойствам дифференциалов,
d (uv) udv vdu .
Интегрируя это соотношение, получим d (uv) uv udv vdu .
Отсюда следует, что
udv uv vdu .
В развернутом виде эта формула имеет вид
uv dx uv vu d x .
Эта формула и носит название формулы интегрирования по
частям.

12.

Пример.
Пусть надо вычислить интеграл x ln xdx .
Разбиваем подынтегральное выражение на кусочки u ln x ,
dx
x2
dv xdx . Отсюда получается, что du , v xdx . Формула
x
2
интегрирования по частям дает тогда
x2
x 2 dx
x ln xdx 2 ln x 2 x
x2
1
x2
x2
ln x xdx ln x C .
2
2
2
4