Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

568.00K

Category:

physics

Методы расчета и анализа электрических цепей. Лекция 5

1.

Лекция 5
Методы расчета и анализа электрических цепей

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
один узел схемы цепи принимается базисным с потенциалом,
равным нулю (либо с другим значением).
Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях,
так как ток в каждой ветви зависит только от разности
потенциалов узлов.
для остальных (У-1) узлов составляются уравнения по первому
закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов.
решением составленной системы определяются потенциалы
узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по закону Ома.
R3
E
1
2
Принимаем
3 = 0
I3
J1
R1
R2
J2
I1
3/
I2
3//
Для узла 1:
I1 I 3 J1 0
Для узла 2:
I 2 I3 J 2 0

3.

( 1 3 ) 1
I1
R1
R1
( 2 3 ) 2
I2
R2
R2
( 1 2 ) E
I3
R3
После подстановки в уравнения токов:
1
1
1
E
1 2 J 1
R3
R3
R1 R3
1
1
1
E
1 2 J 2
R3
R3
R1 R3

4. Метод узловых потенциалов

• Метод в котором за неизвестные
принимают потенциалы узлов схемы
• Составляют Nуп = m – 1, так как один
узел в схеме можно заземлить, то есть
принять его потенциал равным нулю
без изменения тока распределения в
схеме

5. Метод узловых потенциалов

• Если схема имеет в своем составе(у+1)
узел, а потенциал у+1 узла равен нулю,
для определения потенциалов ост узлов
необходимо составить у уравнений
• ϕ1g11-ϕ2g12-ϕ3g13-…ϕyg1y=∑J+∑Eg
• -ϕ1g21+ϕ2g22-ϕ3g23-…ϕyg2y=∑J+∑Eg
• -ϕ1g31-ϕ2g22+ϕ3g33-…ϕyg3y=∑J+∑Eg
• -ϕ1gy1-ϕ2gy2-ϕ3g33-…+ϕygyy=∑J+∑Eg

6. Метод узловых потенциалов

• Gnn -сумма проводимостей ветвей,
присоединенных к узлу n (Gnn = 1/Rnn)
• Gkm=Gmk – сумма проводимостей ветвей,
соединяющих k и m узлы (Gkm = 1/Rmk)
• ∑J – сумма токов источников тока
присоединенных к узлу k (+ от узла,-к
узлу)
• ∑Eg – сумма произведений ЭДС источника
на проводимость для каждой ветви узла (+
от узла,-к узлу)

7. Метод узловых потенциалов

• Если в схеме есть узлы соединенные
через идеальный источник ЭДС, то
число уравнений сокращается m-Nвиэ-1
• m- число узлов
• Nвиэ- число ветвей с идеальным
источником ЭДС
• Рекомендуется принять равным нулю
потенциал узла к которой подходит
ЭДС

8. Метод узловых потенциалов

• Составляем систему из k=m-Nвит-1
• Решаем систему относительно
потенциалов узлов
• Находим токи в ветвях по закону Ома
ток в ветви с идеальным источником
ЭДС находится в последнюю очередь
по первому закону Кирхгофа

9. Метод узловых потенциалов

10. Метод узловых потенциалов

k=m-Nвит-1
k= 4 – 1 - 1 = 2
ϕ1 = 0
ϕ2 = -E1

11. Метод узловых потенциалов

• ϕ3(g3+g4+g6) -ϕ2g6 ϕ4(g3+g4) = J +
E3g3- E4g4
• ϕ4(g2+g3+g4+g5) ϕ2g2 - ϕ3(g3+g4) = E2g2 -E3g3 +E4g4
• Решив систему
получим значения
ϕ3 и ϕ4

12. Метод узловых потенциалов

I1=(ϕ1-ϕ2)g1= - ϕ2g1
I2=(ϕ2-ϕ4+E2)g2
I3=(ϕ4-ϕ3-E3)g3
I4=(ϕ4-ϕ3+E4)g4
I5=ϕ4g5
I6=(ϕ3-ϕ2)g6
I7=J-I6+I2-I3

13. Замена нескольких параллельных ветвей

• Замена нескольких параллельных
ветвей, содержащих источники эдс,
одной эквивалентной ветвью

14.

Участок цепи можно заменить эквивалентным
участком:
• Е=
(Е1q1+Е2q2+Е3q3) /
(q1+q2+q3) эквивалентная эдс;
• q = 1/R1 + 1/R2
+1/R3 –
эквивалентная
проводимость;
• R = 1/q –
эквивалентное
сопротивление.

15. Замена нескольких параллельных ветвей

• Если в какой либо ветви эдс
отсутствует, то соответствующее
слагаемое в числителе выпадает, но
проводимость этой ветви в
знаменателе будет присутствовать.
Если эдс в схеме имеет направление,
обратное изображенному направлению
эдс на рисунке, то соответствующее
слагаемое войдет в числитель со
знаком минус.

16.

• Часть схемы, состоящей из параллельных
ветвей ЭДС E и проводимостями g ,
эквивалентно либо одной ветви с
проводимостью g и ЭДС E :
EB g B
g
g
E
B
Э
, Э gB
,
B
B
Э
Э
либо двум параллельным ветвям с той же
проводимостью g и источником тока J:
Э
• .
J Э EB g B
Э

17.

• ПРАВИЛО ЗНАКОВ.
Слагаемые E , g
берутся с плюсом
при совпадении
направления ЭДС E ,
E и , при
несовпадении – с
минусом.
B
B
B
Э

18.

EЭ
E1 g1 E2 g 2 E3 g 3
g1 g 2 g 3
g Э g1 g 2 g 3
J Э E1 g1 E2 g 2 E3 g 3

19. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

• Примем

20.

• Согласно закону
Ома составим
систему уравнений

21.

• Решая систему,
находим
потенциалы узлов:
• = 5,3086 В;
• = 4,4155 В;
• = 7,8017 В.

22. Выражаем токи в ветвях по закону Ома:

23.

МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ
I1
a I3
R3
b
I1/
I5
I4
I2
I1//
R5
E4
c1
R3
R4
I4//
R5
I2//
c1
E4
c2
E4
c2
I1 I1/ I1//
I 2 I 2/ I 2//
I 3 I 3/ I 3//
R1
R2
I4
I2/
c1
I5//
b
R2
R5
E1
c2
a I3//
I5/
b
R1
R1
E1
R3
R4
R4
R2
a I3/
I 4 I 4/ I 4//
I 5 I 5/ I 5//

24.

МЕТОД ДВУХ УЗЛОВ
a1
a2
По первому закону Кирхгофа
R1
I1 I 2 I 3 I 4 0
R3
R2
E1
R4
E3
b1
b2
E U ab
I1 1
R1
E3 U ab
I3
R3
Знак Uab обусловлен уравнением:
U ab
I2
R2
U ab
I4
R4
E1 U R1 U ab
E1 U ab U ab E3 U ab U ab
0
R1
R2
R3
R4
U ab
E1 / R1 E3 / R3
1 / R1 1 / R2 1 / R3 1 / R4
E / R
1 / R
i
U ab
i
i
i
i

25.

МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА
a1
a2
R1
a1
R3
R1
R2
1
1
R3
b2
a1
EЭКВ
R2
b2
2
1
R3
R2
RЭКВ
E3
2
a2
R1
R4
E1
b1
E3
b1
a2
R1
R4
E1
b2
a1
I КЗ
R2
E3
b1
R3
R4
E1
1
a2
R4
2
b1
E
1
1
1 1
E /R E /R
; EЭКВ U ab 1 1 3 3 ; RЭКВ ( )
RВН
1 / R1 1 / R2 1 / R3
R1 R2 R3
b2
; I4
2
EЭКВ
.
R4 RЭКВ

26. Метод ЭГ

• Определить ток I1 в заданной по условию
схеме, используя теорему об активном
двухполюснике и эквивалентном
генераторе.
• Выделим из схемы ветвь, в которой
необходимо определить ток: