1.81M

Category:

physics

Принцип и метод суперпозиции (наложения)

1.

Лекция 3
Принцип и метод суперпозиции (наложения)
(Частный случай принципа независимости действия сил)
Любой ток разветвленной цепи можно представить, как
алгебраическую ∑ частичных токов, каждый из которых
вызван действием одного источника (при устранении остальных).
Любой интересующий ток можно сделать контурным
R11
R
k 1 21
I k J kk
...
Rn1
R12
... E11
R22
... E22
...
...
...
Rn 2 ... Enn
... R1n
... R2 n
... ...
... Rnn
k1
k 2
kn
E11
E22
... Enn
I k E1ak1 E2 ak 2 E3ak 3 ... I k I k I k ...

2.

NB! Устранить источник, значит оставить на его месте внутреннее
cопротивление идеального источника:
ЭДС заменяется на «провод», источник тока на «разрыв».
E
Iк

3.

r1
I1
Пример
r2
r3
E1
I2
=
Iк2
I3
I
=
r2
r1
'
1
E1
r3
I
I1
I1''
I
'
2
r3
+
'
3
'
''
I1 I1 ,
E
'
'
I1 I 3
.
r1 r3
r2
r1
I
''
2
Iк2
I 3''
r3
I I
,
r1 r3
''
1
''
2

4.

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
J
(1)
R2
I2
I1
R1
I3
(2) I 5
I4
R3
E1
E3
R4
R5
(3)
I7
R6
I4
R7
E7
(0)
p=7
q=4
I
Число уравнений
R
по II з. Кирхгофа: 4 (число
ячеек)
По I з. Кирхгофа: q-1=3
φ1 φ 2
I2
R2
Потенциал любого одного узла схемы можно принять за
известный, например, равный нулю (заземлить узел).
Пусть
φ 4 φ0 0
-опорный (базисный) потенциал
1-ый з. Кирхгофа для узла (1)
I1 I 2 I 3 J 0

5.

J
Согласно обобщенному з. Ома:
I
(1)
R2
I2
I1
R1
I3
E1
(2) I 5
I4
R3
E3
R4
R5
(3)
I7
R6
I4
R7
E7
(0)
φ0 φ1 R E1
I1
( E1 φ1 )G1
R1
φ1 φ 2
I2
(φ1 φ 2 )G2
R2
φ1 φ0 E3
I3
(φ1 E3 )G3
R3
1-ый з. Кирхгофа для узла (1)
I1 I 2 I 3 J 0
Узловое уравнение для узла (1):
φ1 (G1 G2 G3 ) φ2G2 J E1G1 E3G3

6. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Узловые уравнения для 1-го, 2-го и 3-го узлов
(1):
φ1 (G1 G2 G3 ) φ2G2 J E1G1 E3G3
φ2 (G2 G4 G5 ) φ1G2 φ3G5 φ0G4 0
(3): φ (G G G ) φ G φ (G G ) J E G
3
5
6
7
2 5
0
6
7
7 7
(2):
J
I
(1)
R2
I2
I1
R1
I3
E1
(2) I 5
I4
R3
E3
R4
I4
R5
R
(3)
I7
R6
R7
E7
(0)

7.

Система уравнений в канонической форме
φ1G123 φ 2G2 φ3 0 I У1
φ1G2 φ 2G245 φ3G5 I У2
φ1 0 φ 2G5 φ3G567 I У3
I У1
1 I У2
I У3
G2
G245
G5
0
G5 ;
G567
1
φ1 ;
NB! Симметрия относительно
главной диагонали
G123
G2
0
G123
2 G2
0
2
φ2
;
I У1
I У2
I У3
G2
G245
G5
0
G5 ;
G567
0
G5 ;
G567
3 ...
3
φ3
Токи находят через потенциалы по з.Ома для
активной и пассивной ветвей

8.

Каноническая система уравнений:
G11φ1 G12 φ 2 ... G1n φ n I у1
G21φ1 G22 φ 2 ... G2 n φ n I у 2
.....................................
Gn1φ1 Gn 2 φ 2 ... Gnn φ n I уn
Gii
Gij
-собственная
узловая проводимость i-го узла = сумме
проводимостей всех ветвей, сходящихся в этом узле
- общая проводимость между i-тым и j-тым узлами =сумме
проводимостей всех ветвей между этими узлами, всегда со
знаком «-»!
I уn - узловой ток, равен алгебр-ской
∑ произведений эдс на
проводимость своей ветви «+» токи источников тока)

9.

I уn - узловой ток, равен алгебр-ской
∑ произведений эдс на
проводимость своей ветви «+» токи источников тока)
Правило знаков:
источник направлен к узлу, знак «+», от узла «-»
Источник напряжения
Источник тока
Ri
E
J
Ri
E
J
EGi
Ri

10.

В матричной форме записи:
G y φ y I y
1
φ y Gy I y
Порядок расчета методом узловых потенциалов
1. Заземляется любой узел схемы. Целесообразно
заземлять узел, в котором сходится наибольшее число ветвей.
2. Для остальных узлов составляют уравнения по алгоритму.
3. Решается система и определяются потенциалы всех узлов.
4. С помощью обобщенного з. Ома определяют токи ветвей.

11.

r9
r10
r8
E5
r5
r1
b
r4
Пример
q=4
p=8
c
E3
r3
Iк
r2
r7
E6
d
p - (q-1) = 5
a 0,
a
r6
q -1 = 3
d
1 1 1 1
b ( )
r1 r4 r6 r7
1
1 1
1
c d ( ) E6 ,
r4
r6 r7
r6
1 1
1
1
1
1
1
c (
) b d E5
,
r4 r2 r5 r8 r9 r10
r4
r2
r5 r8
1 1 1 1
1 1
1
1
1
d ( ) b ( ) c E6 E3 I к .
r3 r6 r2 r7
r6 r7
r2
r6
r3

12.

r9
I8
r8
E5
r5
r1
b
r4
a
I3
E3
r3
r6
I6
E6
Iк
d
d b E6
I6
,
r6
«d»
I5
c
I4
I1
Проверка
a b
I1
,
r1
c d
I2
,
r2
r10
r7
r2
I7
I2
d
d a E3
I3
,
r3
c b
I4
,
r4
a c E5
I5
,
r5 r8
d b
I7
,
r7
I к I3 I 6 I 7 I 2 0
c a
I8
.
r9 r10

13.

Особенности применения метода узловых потенциалов
1. Если в цепи имеются источники идеальной эдс, то
заземляют один из узлов, к которому примыкает ветвь с
идеальным источником.
Пример:
6
q=4
I1
(3)
R4
(1)
R5
Число уравнений
по МУП: q-1=3
R1
(2)
Примем φE01=0
R3
R1
E2
E1
тогда φ3 = φ0 + E2=E2
E3
число уравнений сокращается:
(0)
Для узлов (1) и (2):
φ1 (G1 G4 G6 ) φ 2G6 φ3G4 E1G1
φ 2 (G6 G5 G3 ) φ1G6 φ3G5 E3G3

14.

E
a
R=0
b
G=
Неопределенность типа =

15.

φ0 = 0, φ3 = E2,
φ1 (G1 G4 G6 ) φ 2G6 E1G1 φ3G4
φ1G6 φ 2 (G6 G5 G3 ) E3G3 φ3G5
По методу узловых потенциалов составляется (q -1)-nист эдс
независимых уравнений
2
φ2
φ1 φ3
φ 0 φ1 E1
I4
I1
R1
R4
1
φ1
φ3 φ 2
I5
R5
I E2 I 5 I 4
R6
R4
(1)
I4
(3)
I5
I2
I1
R5
(2)
I3
R3
R1
E2
E3
E1
(0)
NB!
Ток в ветви с идеальной ЭДС определяют по 1-му з. Кирхгофа

16.

NB! Вместо потенциалов узлов можно записывать
узловые напряжения.
Узловое напряжение – разность между потенциалом
некоторого узла φузла и базисным потенциалом φ0=0:
U10 φ1 φ 0 φ1 ;
U 20 φ 2 φ 0 φ 2 ;
U 30 φ3 φ 0 φ3 ;
Узловое напряжение
в матричной форме –
1
U y Gy I y
Метод узловых потенциалов часто
наз. методом узловых напряжений

17.

2. Случай двух узлов
φ0 0
φ1 (G1 G2 G4 ) φ 0 (G1 G2 G4 ) E1G1 E2G2 J 3
E1G1 E2G2 J 3
φ1 U10
G1 G2 G4
(1)
J3
R2
R1
E1
R4
E2
U10 φ1
EG J
G
i
i
i
(0)
j
Формула
двух
узлов
В числителе – алгебраическая ∑ токов источников,
в знаменателе – ∑ проводимостей ветвей между
двумя узлами
Правило знаков: источник направлен к узлу ненулевого
потенциала «+», от узла «-»

18.

Пример:
(1)
I1
I2
R1
R2
U10
E1
E2
I4
J3
R4
Решение:
1
1
E1 E2 J 3
R2
R1
φ1 U10
1 1 1 1
R1 R2 R4
(φ0 φ1 ) E1 U10 E1
I1
(0)
R1
R1
(φ1 φ0 ) E2 U10 E2
I2
R2
R2
φ0 φ1 U10 4
1 А
I4
R4
4
R4

19.

Эквивалентные преобразования схем
Эквивалентные - преобразования, при которых
напряжения и токи в частях схемы, не затронутых
преобразованиями не изменяются
1. Свертывание последовательно-параллельных соединений
а) последовательное соединение сопротивлений:
R1
R2
Rэ
R3
Rэ Ri
б) параллельное соединение сопротивлений:
Gэ Gi ,
где
1
G
R
G1
G2
G3
Gэ

20.

2. Эквивалентная замена источников
напряжения и тока
Формулы взаимного перехода
Источник тока
Источник напряжения
Ri
J
Ri
E
J
EGi
Ri
E
E J Ri

21.

3. Свертывание параллельных активно- пассивных
I
I
ветвей
Rэ
J3
R2
R1
R4
E1
E2
Eэ
I
I
Eэ
EG J
G
i
i
i
Gэ Gi
i
Правило знаков:
с «+» записываются источники, сонаправленные с Eэ

22.

Теорема о компенсации
I
1.
I
A
a
A
E=RI
b
R
I
2.
a
A
J=I
b
1. Любое сопротивление в схеме можно заменить источником
ЭДС, равным падению напряжения на заменяемом
сопротивлении и направленным встречно току
2. Любую ветвь с известным током можно заменить ветвью с
источником тока такой же величины

23.

Метод эквивалентного генератора (МЭГ)
Теорема об активном двухполюснике
Любая сложная цепь по отношению к выделенной ветви
м.б. представлена одной ветвью с эквивалентной э.д.с. и
эквивалентным сопротивлением.
Eэкв
I =0
A
R
U хх
b
Rэкв
I =0
a
=
A
R
I =0
a
U хх
b
R=
8
А
=
a
A
E=U хх
b

24.

a
A
E 1=U хх
I =?
U ab
a
A
R
A
I` E 1=U хх
U ab
R
R
+
П
a
I`` E 2=U хх
U ab
R
Rэкв
b
I
U ab
b
b
a
E 2=U хх
b
U ab E1 U хх U хх
E2
U хх
0 I I I 0 I
R
R
R Rэкв R Rэкв

25.

РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МЭГ
(метода эквивалентного генератора)
a
A
U хх
a
+
П
b
I
Rэкв
E экв
R
Rab
b
Eэкв U хх
Rэкв Rab
Eэкв
U хх
I
R Rэкв
R Rэкв

26. Теорема о компенсации

Порядок расчета по методу эквивалентного
активного источника (генератора):
1) Размыкается ветвь с искомым током, любым
способом рассчитывается схема и определяется Uхх ,
2) Цепь делается пассивной (источники ЭДС
закоротить, источники тока разомкнуть) и
сворачивается относительно зажимов
рассматриваемой ветви в одно эквивалентное
сопротивление Rэкв,
3) Определяется ток в рассматриваемой ветви
U xx
I
.
Rэкв R

Принцип и метод суперпозиции (наложения)

1.

2.

3.

4.

5.

6. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26. Теорема о компенсации

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.