Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. 9 класс

1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

2. Цели обучения

9.1.4.5
знать определение угла между двумя векторами;
9.1.4.6
находить скалярное произведение векторов;

3. Скалярное произведение векторов.

Угол между векторами:
a b,
0 ;
0
a
a
b
a b,
90 ;
0
b
a b, 180 ;
0
b
a
a
b

4. Новый материал

2. Понятие скалярного произведения векторов.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
a b
a b а b cos a b
Обозначение:
01.10.2020
a b
cos a b
а b

5. Новый материал

3. Пример применения скалярного произведения
векторов в физике.
Пусть под действием постоянной силы F тело
F
совершило механическ ое перемещени е , которое
задается вектором S .
Если F S α , то для вычисления работы А
совершенно й силой F , используют формулу
что по определени ю является скалярным
произведен ием F S .
01.10.2020
S
А F S cos α

6. Утверждения

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда
и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Доказательство.
1 ) Пусть а b , тогда a b а b cos α ,
cos α cos a b cos 90 0 , значит , a b 0 .
2 ) Пусть a b 0 , тогда а b cos α 0 ,
Но а 0 , b 0 ненулевые векторы , значит , cos α 0 ,
α 90 , а b
01.10.2020

7. Утверждения

Утверждение 2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его
2
2
длины.
a a a a
Доказательство.
Угол м еж ду равным и векторам и равен 0 , cos 0 1 ,
2
Имеем a а а а cos 0 a .
01.10.2020

8.

a·b = |a|·|b|cos (a b)
a
α
b1
b

9.

a·b = |a|·|b|cos (a b)
a ↑↑ b
a
b
a b =0
a·b = |a|·|b|
◦

10.

a·b = |a|·|b|cos (a b)
a
a
b
a b = 90
b
a·b = 0
◦

11. Заполните таблицу:

1
6
600
?3
8
8?
00
64
9
3
90?0
0
13
3
180
?0
-39
5
12
600
30
?

12. Найдите скалярное произведение векторов

В
АВС - равносторонний
АВ = ВС = АС = 2
b
А
a
2?
С

13. Найдите скалярное произведение векторов

В
АВС - равносторонний
АВ = ВС = АС = 2
b
А
a
?
-2
С

14. Найдите скалярное произведение векторов

В
АВС - равносторонний
АВ = ВС = АС = 2
a
А
b
?
1
С

15. Найдите скалярное произведение векторов

В
АВС - равносторонний
АВ = ВС = АС = 2
?0
a
А
b
С

16. Найдите скалярное произведение векторов

В
АВС - равносторонний
АВ = ВС = АС = 2
?0
a
А
b
С

17. Скалярное произведение векторов.

Если a x1 ; y1 ; b x2 ; y2 , то
a b x1 x2 y1 y2 .
cos 0, острый.
cos
x1 x2 y1 y2
x12 у12 x22 у22
cos 0, прямой .
cos 0, тупой.

18. Найти угол между векторами

Задача №1.
Найти угол между векторами
a 1; 2 , b 3;1 .
Ответ:
2
0
cos
135 .
2