Угол между векторами. Скалярное произведенне векторов

1.

11 класс.

2. Цели урока:

• Ввести понятия угла между
векторами и скалярного
произведения векторов.
• Рассмотреть формулу
скалярного произведения в координатах.
• Показать применение скалярного произведения
векторов при решении задач.

3. Повторение:

• Какие векторы называются равными?
а
a b, если a b ; а b
b
• Как найти длину вектора по координатам его
начала и конца?
В
АВ
хВ х А у В у А
2
2
( zB z A )
А
• Какие векторы называются коллинеарными?
а b или а b
а
b
x1 x2
а b y1 y 2
z z
2
1

4. Повторение.

Векторы в пространстве.
А 3; 2;4 В 4;3;2
1) Дано:
Найти: АВ
30
А 2; 3;1 В 4; 5;0 С 5;0; 4 D 7; 2; 3
2) Дано:
Равны ли векторы АВ и CD ?
Нет, т.к.равные векторы имеют равные
координаты.
АВ 2; 2; 1
CD 2; 2;1
3) Дано: ? Коллинеарны ли векторы АВ и CD ?
А 1; 3;4
В 5;1; 2
С 2;0;1
D 4; 2;2
АВ 8;4; 6 CD 2; 2;1
Нет

5. Угол между векторами.

b
ОА а ОВ b
ab
а
Если а b то ab 180
0
а
b
,
Если
то аb 0
А
α
О
В
0
Если а b то ab 90 0

6. Сопоставьте углы между векторами и их градусной мерой.

00
а
450
О
c и f
d и a
a и f
a и b
300
b
450
d
1800с
f
1150
1350

7. Скалярное произведение векторов.

b
а
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
a b a b cos

8. Скаляр – лат. scale – шкала.

Ввел в 1845 г.
У. ГАМИЛЬТОН,
английский
математик.

9.

Повторение
a b a b cos
b , то
cos 90 0
0
a b 0
Если
a
Если
a b
Если
а b
Если
a b , то a b a a a a a a
Скалярное произведение a a называется
, то
, то
cos180 1 a b a b
0
cos 0 1 a b a b
0
скалярным квадратом вектора
2
2

10. Скалярное произведение векторов в физике.

F
α
S
Если F S , то
A F S cos
Скалярное произведение векторов.

11. Формула скалярного произведения векторов в пространстве.

а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y2 ; z2
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.

12. Решение задач.

Дан куб АВСDA1B1C1D1.
Найдите угол между векторами:
B1
В1 В и В1С
450
б) ВС и АС
450
а)
C
1
A1
D1
B
в) DA
и B1 D1
1350
A
C
D

13. № 443 (г)

Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1 ВС1
1 способ:
ВА1С1 правильный
ВА1 ВС1 а 2
ВА ВС 60
C1
D1
A1
B1
1
0
1
ВА1 ВС1 а 2 а 2 cos60 а
0
Ответ: а2
D
2
A
C
B

14. № 443 (г)

Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1 ВС1
2 способ:
ВА1 ВА АА1
ВС1 ВС СС1
C1
D1
ВА1 ВС1 ?
A1
B1
ВА1 ВС1 ВА АА1 ВС СС1
ВА ВС ВА СС1 АА1 ВС
D
АА1 СС1
0 0 0 а а cos0 a
0
2
C
B
A
Ответ: а2

15. № 443 (г)

Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1 ВС1
3 способ: Введем прямоугольную
систему координат.
A1
ВА1 а;0; а
z
ВС1 0; а; а
ВА1 ВС1 а 0 0 а а а а
Ответ: а2
х
C1
D1
B1
у
2
D
A
C
B

16. № 443

Решаем по группам:
№ 443
1 – а)
2 – б)
3 – в)
а2
-2а2
0
Дополнительная задача:
Вычислите угол между вектором а и
координатным вектором i.
а 2;1;2