Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

1.

Угол между векторами.
Скалярное произведение
векторов

2.

Цели урока:
• Ввести понятия угла между векторами и
скалярного произведения векторов.
• Рассмотреть формулу скалярного произведения
в координатах.
• Показать применение скалярного произведения
векторов при решении задач.

3.

Повторение:
• Какие векторы называются равными?
а
a b, если a b ; а b
b
• Как найти длину вектора по координатам его
начала и конца?
В
АВ
х
хА уВ у А
2
2
А
• Какие векторы являются коллинеарными?
а b или а b
а
b
В
x1 x2
а b y1 y 2
z z
2
1

4.

Повторение
Векторы в пространстве.
А 3; 2;4
В 4;3;2
1) Дано:
Найти: АВ
30
А 2; 3;1 В 4; 5;0 С 5;0; 4 D 7; 2; 3
2) Дано:
Равны ли векторы АВ и CD ?
Нет, т.к.равные векторы имеют равные
координаты.
АВ 2; 2; 1
CD 2; 2;1
3) Дано: ? Коллинеарны ли векторы АВ и CD ?
А 1; 3;4
В 9;1; 2
С 2;0;1
D 4; 2;2
АВ 8;4; 6 CD 2; 2;1
Нет

5.

Угол между векторами.
b
ОА а
ab
а
Если а b, то
аb 0
0
Если а b то ab 180
А
α
О
ОВ b
В
то ab 90
0
Если а b
0

6.

Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а
b
a b a b cos

7.

Частный случай №1
b
a b = 900
a
a b
=
== 00
a b cos 900 = 0
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
a b
=0
a b

8.

Частный случай №2
a b < 900
b
a
a b
=
>> 00
a b cos > 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда, когда угол между
векторами острый.
a b
>0
a b < 900

9.

Частный случай №3
b
a b > 900
a
a b
=
<< 00
a b cos < 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда, когда угол между
векторами тупой.
a b
<0
a b > 900

10.

Частный случай №4
b
a b = 00
a
a b
b
a
a b
=
=
1
a b cos 00
=
a b
a b = 1800
-1
-1
a b cos1800 = – a b

11.

Частный случай №5
a a = 00
a
a a
=
11
a a cos 00 = a a
a называется
a
скалярным квадратом вектора
иa
обозначается
Скалярное произведение
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a
2
=
a
2
=
a
2
a
2

12.

Пример применения скалярного
произведение векторов в физике.
F
α
S
Если F S , то
A F S cos
Скалярное произведение векторов.

13.

Задача №1
Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и
N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0

14.

Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y 2 ; z 2
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.

15.

Скалярное произведение векторов.
а
a b a b cos
а x1 ; y1 ; z1 b x2 ; y 2 ; z 2
b
cos
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

16.

Косинус угла между ненулевыми
векторами
b x2 ; y 2 ; z 2
а x1 ; y1 ; z1
cos
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

17.

Задача №2
Дан куб АВСDA1B1C1D1.
Найдите угол между векторами:
а)
В1 В и В1С
б) ВС
в) DA
и АС
и B1 D1
B1
450
C1
A1
D1
450
B
1350
A
C
D

18.

№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а
Найти: ВА1 ВС1
1 способ:
ВА1С1 правильный
ВА1 ВС1 а 2
ВА ВС 60
A1
B1
1
C1
D1
0
1
ВА1 ВС1 а 2 а 2 cos 60 а
0
Ответ: а2
D
2
A
C
B

19.

№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а
Найти: ВА1 ВС1
2 способ:
ВА1 ВА АА1
ВА1
ВС1 ВС СС1
C1
D1
A1
ВС1 ?
B1
ВА1 ВС1 ВА АА1 ВС СС1
ВА ВС ВА СС1 АА1 ВС
D
АА1 СС1
0 0 0 а а cos 0 a
0
2
A
C
B
Ответ: а2

20.

№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а
z
Найти: ВА1 ВС1
3 способ: Введем прямоугольную
систему координат.
A1
ВА1 а;0; а
B1
ВС1 0; а; а
ВА1 ВС1 а 0 0 а а а а
Ответ: а2
х
C1
D1
у
2
D
A
C
B

21.

Скалярное произведение векторов.
а
a b a b cos
а x1 ; y1 ; z1 b x2 ; y 2 ; z 2
b
cos
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

22.

Задание №1
Найти скалярное произведение векторов:
a {-6; 9; 5}
b {-1; 0; 7}
a b = x1x2 + y1y2 + z1z2
a b = -6 (-1) + 9 0 + 5 7 = 41

23.

Задание №2
Найти скалярное произведение векторов:
a {0; 0; 4}
b {22; 1; 8}
a b = x1x2 + y1y2 + z1z2
a b = 0 22 + 0 1 + 4 8 = 32

24.

Задание №3
Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 7; 9}
b {-2; 4; 0}
a b = x1x2 + y1y2 + z1z2
a b = 1 (-2) + 7 4 + 9 0 = 26

25.

Проверочная работа
1. Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 10; 7}
b {0; 7; 0}

26.

Проверочная работа
2. Найти скалярное произведение векторов:
a {7; 25; 0}
b {11; 0; 54}

27.

Проверочная работа
3. Найти скалярное произведение векторов:
a {|-2|; 0; |3|}
b {1; |-11|; 1}

28.

Проверочная работа
4. Найти скалярное произведение векторов:
a {sin(90 ); 2; 3}
0
b {3; 2; 1}

29.

Проверочная работа
5. Найти скалярное произведение векторов:
a {-1; 2; 8}
b {5; 5; 0}

30.

Проверочная работа
Работа закончена.
Перейдём к проверке.

31.

Проверочная работа
1. Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 10; 7}
b {0; 7; 0}
a b = 10 7 = 70

32.

Проверочная работа
2. Найти скалярное произведение векторов:
a {7; 25; 0}
b {11; 0; 54}
a b = 7 11 = 77

33.

Проверочная работа
3. Найти скалярное произведение векторов:
a {|-2|; 0; |3|}
b {1; |-11|; 1}
a b = 2 1 + 3 1 = 5

34.

Проверочная работа
4. Найти скалярное произведение векторов:
a {sin(90 ); 2; 3}
0
b {3; 2; 1}
a b = 1 3 + 2 2 + 3 1 = 10

35.

Проверочная работа
5. Найти скалярное произведение векторов:
a {-1; 2; 8}
b {5; 5; 0}
a b = -1 5 + 2 5 = 5

36.

Домашнее задание
П.50, 51
№ 441, № 444, 446 (а)