Угл между векторами. Скалярное произведение векторов

1.

"Нам необыкновенно повезло, что
мы живём в век, когда ещё можно
делать открытия".
американский учёный, физик Р.Фейман

2. Цели урока:

Ввести понятия угла между
векторами и скалярного
произведения векторов.
Рассмотреть формулу
скалярного произведения в координатах.
Показать применение скалярного произведения
векторов при решении задач.

3.

Оцените Ваше настроение

4. Повторение:

Какие векторы называются равными?
а
a b, если a b ; а b
b
Как найти длину вектора по координатам его
начала и конца?
В
х
АВ
хА уВ у А
2
2
А
Какие векторы называются коллинеарными?
а b или а b
b
а
В
а b
x1 x2
y1 y 2
z z
2
1

5. Повторение:

(Векторы в пространстве)
1) Дано: А 3; 2;4 В 4;3;2
30
Найти: АВ
2) Дано: А 2; 3;1 В 4; 5;0 С 5;0; 4 D 7; 2; 3
Равны ли векторы АВ и CD ?
АВ 2; 2; 1
CD 2; 2;1
Нет, т.к.равные векторы имеют равные
координаты.
3) Дано: Коллинеарны ли векторы
А 1; 3;4
В 5;1; 2
С 2;0;1 D 4; 2;2
АВ 8;4; 6
CD 2; 2;1
АВи CD ?
Нет

6. Угол между векторами.

b
а
ОА а
ab
А
α
О
В
ОВ b

7. Скалярное произведение векторов.

а
b
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
a b a b cos
Скалярное произведение векторов –
число!

8. Примеры:

1. a
2, b
2. a
5, b
3. a
7, b
4. a
1, b
a
,
7
b
5.
3,
1,
4,
a b
0
60
0 a b
30
0
45
a b
0
2 3 cos 60
0
5 1 cos 30
0
7 4 cos 45
3
5 3
2
14 2
1,
0
120 a b
0
1 1 cos 120
,
5
0
90 a b
0
7 5 cos 90
1
2
0

9.

Свойства скалярного произведения
a b a b cos
0
cos
90
0 a b 0
1. Если a b , то
0
cos
180
1 a b a b
2. Если a b , то
3. Если а b , то cos 0
0
1
a b a b
2
4. Если a b, то
a b a a a a a a
Скалярное произведение
a a
называется
скалярным квадратом вектора
2

10. Скаляр – лат. scale – шкала.

Ввёл в 1845 г.
У. ГАМИЛЬТОН,
английский
математик.

11. Формула скалярного произведения векторов в пространстве.

а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y2 ; z2
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2
Скалярное произведение двух
векторов равно сумме
произведений соответствующих
координат этих векторов.

12. Вычислить скалярное произведение векторов

а = (4; –6; 3), b = (–5; 2; –5), c = (0; –3; –4).
a•b =
a•c =
b•c =

13. Формула для вычисления угла между векторами, заданными своими координатами

а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y2 ; z2
a b a b cos

14. Формула для вычисления угла между векторами, заданными своими координатами

cos α =
cos
a•b
a•b
x1 x2 y1 y2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

15. Решение задач

1.Найти угол между векторами а = (1; -2), b = (-3; 1).
2. В треугольнике АВС найти величину угла В, если
А (0; 5; 0), В (4; 3; -8), С (-1; -3; -6).
3. Найти угол между векторами АВ и ВС, если
В (1; 0), С (-2; 3).
А (1; 6),
4. Определить угол между векторами АВ и СD, если
А (1; -3; -4), В (-1; 0; 2), С (2; -4; -6), D (1; 1; 1).