Скалярное произведение векторов. Вычисление углов между векторами

1. Скалярное произведение векторов. Вычисление углов между векторами.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛОВ МЕЖДУ
ВЕКТОРАМИ.

2. Угол между векторами

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
а и b не являются
сонаправленными
О –произвольная точка
а
b
А
ОА а ,
ОВ b
АОВ =
а b =
О
В

3. Угол между векторами

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
Если
векторы а и b
сонаправлены, в
частности один из
них или оба
нулевые, то угол
между векторами
равен 0°.
Два вектора
называются
перпендикулярным
и, если угол между
ними равен 90°
а
b
а
а b = 0°
b а b
= 0°
а b = 90°
а
b
а b

4. Найдите угол меду векторами

НАЙДИТЕ УГОЛ МЕДУ ВЕКТОРАМИ
c

5.

0
a; b 30 ; a; c 1200
0
0
b ; c 90 ; d ; f 0 d ; c 1800
a b , если 900
a
d
300
c
b
f

6.

Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а
b
a
b
a
b
cos

7.

a
b a b cos
Если
Если
Если
a b = 0
a b 0
, то
a b
- острый угол
a b 0 , то - тупой угол
, то

8.

Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
а x1;y1;z1
b x2;y2;z2
a
b
x
x
y
y
z
z
12
12
12
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.

9.

Косинус угла между ненулевыми
векторами
соs
а x1;y1;z1
a b
| a | |b |
b x2;y2;z2
x
x
y
y
z
z
1
2 1
2 1
2
cos
2 2 2
2 2 2
x
y
z
x
y
z
1 1 1
2 2 2

10.

Угол между прямыми
а
р
q
b
р
q
cos =
р
- направляющий вектор прямой а
q
- направляющий вектор прямой b
- угол между прямыми
p x1 ; y1 ; z1
q x2 ; y2 ; z2
| x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 |
x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z 22

11. пример

ПРИМЕР
a 2 , b 3,
угол между векторами а и b
1350
a b a b cos
2
a b 2 3 cos 135 6 cos 45 6
3 2
2
0
0

12. Необходимое и достаточное условие равенства нулю скалярного произведения

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ
РАВЕНСТВА НУЛЮ СКАЛЯРНОГО
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Скалярное произведение ненулевых
векторов равно нулю тогда и только тогда
когда эти векторы перпендикулярны
1
a 0
b 0 a b 0
a b
2
a 0
b 0 a b
a b 0

13. Скалярный квадрат

СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ
Скалярное произведение
a a
называется скалярным квадратом вектора
a a a a cos a a
cos a a соs 00 1
a a a a а
2
a
a
Свойство.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

14. Самое главное

САМОЕ ГЛАВНОЕ
Скалярным произведением векторов
называется произведение их длин на косинус
угла между ними
Скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда когда эти
векторы перпендикулярны
Скалярное произведение вектора самого на
себя называется скалярным квадратом вектора
Скалярный квадрат вектора равен квадрату
его длины.

15.

16.

17.

Решение задач
№ 464(б)
Вычислить угол между прямыми AB и CD, если
A(5;-8;-1), В(6;-8;-2), С(7;-5;-11), D(7;-7;-9)
Решение
AB 1;0; 1
cos =
СD 0; 2;2
| 1 0 0 ( 2) ( 1) 2 |
12 0 2 ( 1) 2 0 2 ( 2) 2 2 2
1
cos
2
60
0

18.

№ 464(в)
Вычислить угол между прямыми AB и CD, если
A(1;0;2), В(2;1;0), С(0;-2;-4), D(-2;-4;0)
Решение
AB 1;1; 2
СD 2; 2;4
Так как координаты векторов пропорциональны,
то векторы коллинеарны, а прямые параллельны.
0
0