Векторы в пространстве

1. Повторение:

(Векторы в пространстве)
1) Дано: А 3; 2;4 В 4;3;2
Найти: АВ
2) Дано: А 2; 3;1 В 4; 5;0 С 5;0; 4 D 7; 2; 3
Равны ли векторы АВ и CD ?
АВ 2; 2; 1
CD 2; 2;1
3) Дано: Коллинеарны ли векторы АВи CD ?
А 1; 3;4
АВ 8;4; 6
CD 2; 2;1
В 5;1; 2
С 2;0;1 D 4; 2;2

2. Угол между векторами.

b
а
ОА а
ab
А
α
О
В
ОВ b

3. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
b
a b a b cos
а
Скалярное произведение векторов –
число!

4. Примеры:

1. a
2, b
2. a
5, b
3. a
7, b
4. a
a
5.
0
a b
0
2 3 cos 60
0
5 1 cos 30
3,
60
1,
0 a b
30
0
0
5 3
2
4,
45
1, b
1,
0
120 a b
0
1 1 cos 120
,
7
b
,
5
0
90 a b
0
7 5 cos 90
a b
7 4 cos 45
3
14 2
1
2
0

5.

Свойства скалярного произведения
a b a b cos
0
cos
90
0 a b 0
1. Если a b , то
0
cos
180
1 a b a b
2. Если a b , то
3. Если а b , то cos 0
0
1
a b a b
2
4. Если a b , то
a b a a a a a a
Скалярное произведение a a
называется
скалярным квадратом вектора
2

6. Формула скалярного произведения векторов в пространстве.

а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y2 ; z2
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2
Скалярное произведение двух
векторов равно сумме
произведений соответствующих
координат этих векторов.

7. Вычислить скалярное произведение векторов

а = (4; –6; 3), b = (–5; 2; –5), c = (0; –3; –4).
a•b =
a•c =
b•c =

8. Формула для вычисления угла между векторами, заданными своими координатами

а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y2 ; z2
a b a b cos

9. Формула для вычисления угла между векторами, заданными своими координатами

cos α =
cos
a•b
a•b
x1 x2 y1 y2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2