Векторы в пространстве

1.

Направленный
отрезок АВ
А – начало вектора
В – конец вектора
a
А
В
Обозначения:
AB a

2. ВЕКТОР ЗАДАЕТСЯ КООРДИНАТАМИ

a
В
А
А a1 , a 2 , a3
В b1 , b2 , b3
Вычисление координат вектора:
a AB b1 a1 ; b2 a2 ; b3 a3
x
y
z

3. МОДУЛЬ ВЕКТОРА

Известны координаты вектора
a AB x; y; z
Длина вектора (модуль)
2
2
2
| a | x y z
Нулевой вектор:
Равные векторы:
AB 0 0
a b 1) a b;
2)
a b

4. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. Сложение
a
b
( x1, y1, z1 )
x2 , y 2 , z 2
Правило
треугольника
b
a
c
параллелограмма
a
c
b
c a b ( x1 x 2 ; y1 y 2 ; z1 z 2 )

5. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Правило
многоугольника
a1
a2
c
an
c a1 a 2 ... a n

6. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

2. Вычитание
a
a
b
( x1( x,1,yy11,,zz11) )
d
a
b
x2 , y 2 , z 2
d a b x1 x 2 ; y1 y 2 ; z1 z 2

7. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

3. Умножение вектора на число ( )
a AB x; y; z
0
a
a b
a b
Векторы сонаправленые
(одинаково направленные)
a x; y; z
0
a
a b
a b
Векторы противоположно
направленные

8. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ СООТНОШЕНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Отрезок АВ разделен точкой С в отношении
А
С
Если
AC : CB ,
В
то координаты точки С находятся по
формулам:
y
y
x
A xB
A
B
;
y
xC 1
C
1
1, то отрезок АВ разделен точкой С пополам.
Координаты середины находят по формулам:
y
x
y
z
x
z
x 2 ; y 2 ;z 2
A
C
B
A
C
B
A
C
B

9.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ
a
b
a
b
Скалярным
произведением двух
векторов называется
произведение их длин на
косинус угла между ними:
a b a b cos

10. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярное произведение векторов
a x1; y1; z1 ; b x2 ; y2 ; z2
выражается формулой:
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2
Косинус угла между ненулевыми
векторами:
cos
a b
a b
x1 x2 y1 y2 z1 z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22

11. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

12.

13. Свойства скалярного произведения

14. КОЛЛИНЕАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ

Векторы лежат на одной прямой
или параллельных прямых
a
c
b
d
Обозначают:
a || b

15. КОМЛАНАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ

Векторы называются компланарными,
если отложены из одной точки и
лежат в одной плоскости
b
a
c
O
a, b, c
- компланарны
c xa yb
, где x и y – некоторые
числа.

16. ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Любой вектор можно разложить по трем
данным некомпланарным векторам:
d a b c
d
b
a
c