Similar presentations:
Основные свойства и вычисление определенного интеграла
1. Тема:
Основные свойства ивычисление
определенного
интеграла.
2. ПЛАН
1.2.
3.
4.
5.
Повторение: Понятие определенного
интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Метод замены переменной.
Несобственные интегралы.
Приложения определенного
интеграла.
3. 1. Понятие определенного интеграла
К понятию определенного интегралаприводит задача нахождения площади
криволинейной трапеции.
Пусть на некотором интервале [a,b] задана
непрерывная функция y f ( x) 0
Задача:
Построить ее график и найти F площадь
фигуры, ограниченной этой кривой, двумя
прямыми x = a и x = b, а снизу – отрезком оси
абсцисс между точками x = a и x = b.
4.
Фигура aABb называетсякриволинейной трапецией
5. Def.
bПод определенным интегралом
f ( x)dx
a
от данной непрерывной функции f(x) на
данном отрезке [a;b] понимается
соответствующее приращение ее
первообразной, то есть
F (b) F (a ) F ( x) /
b
a
Числа a и b – пределы интегрирования,
[a;b] – промежуток интегрирования.
6. Правило:
Определенный интеграл равен разностизначений первообразной
подынтегральной функции для верхнего
и нижнего пределов интегрирования.
Введя обозначения для разности
b
F (b) F (a) F ( x) / a
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
Формула Ньютона – Лейбница.
7. Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646 – 1716 гг.)Выдающийся немецкий
мыслитель Готфрид
Вильгельм
Лейбниц принадлежал к роду,
известному своими учеными и
политическими деятелями. Он
изобретал всевозможные универсальные
приемы для решения всех задач сразу и,
может быть, поэтому вслед за Паскалем стал
строить вычислительные устройства.
8. Исаак НЬЮТОН (Newton)
(04.01.1643 - 31.03.1727)Английский физик и математик,
создатель теоретических основ
механики и астрономии. Он
открыл закон всемирного
тяготения, разработал (наряду с
Г. Лейбницем)
дифференциальное и
интегральное исчисления,
изобрел зеркальный телескоп и был автором
важнейших экспериментальных работ по оптике.
Ньютона по праву считают создателем
"классической физики".
9. 2. Основные свойства определенного интеграла.
1)Величина определенного интеграла независит от обозначения переменной
интегрирования, т.е.
b
b
a
a
f ( x)dx f (t )dt
где x и t – любые буквы.
2)Определенный интеграл с одинаковыми
пределами
интегрирования равен нулю
a
f ( x)dx F (a) F (a) 0
a
10.
3) При перестановке пределов интегрированияопределенный интеграл меняет свой знак на
обратный
b
a
a
b
f ( x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f ( x)dx
(свойство аддитивности)
4) Если промежуток [a;b] разбит на конечное число
частичных промежутков, то определенный интеграл,
взятый по промежутку [a;b], равен сумме
определенных интегралов, взятых по всем его
частичным промежуткам.
b
c
b
f ( x)dx f ( x)dx
c
a
a
f ( x)dx
11.
5)Постоянный множитель можновыносить за знак определенного
интеграла.
6)Определенный интеграл от
алгебраической суммы конечного числа
непрерывных функций равен такой же
алгебраической сумме определенных
интегралов от этих функций.
12. 3. Замена переменной в определенном интеграле.
3. Замена переменной вопределенном интеграле.
b
f ( x)dx f (t ) (t )dt
a
где a ( ), b ( ), (t ) [a; b]
для t [ ; ] , функции (t ) и (t )непрерывны
на ; .
5
Пример: x 1dx = x 1 5
1
x 1 t
t 0 4
dt dx 4
3
2 2 4 2
2
16
1
4
t
dt
t
t
t
4
2
0
5
=
0
0
0
3
3
3
3
3
13. 4. Несобственные интегралы.
4. Несобственные интегралы.Def: Пусть функция f(x) определена на
бесконечном интервале [a; + ) и
интегрируется на любом интервале [a;b],
где b < + . Еслиbсуществует
lim
f ( x)dx,
b
a
то этот предел называется несобственным
интегралом функции f(x) на интервале
[a; + ) и обозначается
f ( x)dx.
a
14.
Таким образом, по определению,b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim ( F (b) F (a))
a
b
a
b
Если этот
предел некоторое
число, то
интеграл
f ( x)dx
a
называется
сходящимся, если предела не существует, или он
равен , то говорят, что интеграл расходится.
15. ПУАССОН, СИМЕОН ДЕНИ (Poisson, Simeon-Denis)
(1781–1840 гг.)Французский математик,
механик и физик. В 1811 он
вывел получившее
широкое применение
уравнение, связывающее
электрический потенциал с
плотностью
пространственного распределения
заряда (уравнение Пуассона).
16. Интеграл Пуассона:
ex2
a2
dx
если а = 1, то
e
x2
dx
Интеграл сходится, и его значение .
17. 5. Приложения определенного интеграла
1) Площадь плоских фигур.b
а) если f ( x) 0 S f ( x)dx
a
б) если f ( x) 0 S
b
f ( x)dx
a
в)
c
S f ( x)dx
a
d
b
c
d
f ( x)dx f ( x)dx
18.
bг) S f ( x) ( x) dx
a
b
2) A
F ( x)dx
интеграл от
a
величины силы по длине пути.
19. 3) Прирост численности популяции.
N(t) прирост численности запромежуток времени от t0 до T, v(t) –
скорость роста некоторой популяции.
T
N (t )
v(t )dt интеграл от скорости
t0
по интервалу времени ее
размножения.
20. Домашнее задание:
Шыныбеков А.Н. 11клстр. 29-33№ 113, 114