Определенный интеграл. Его основные свойства. Методы вычислений

1. Тема: Определенный интеграл. Его основные свойства. Методы вычислений.

2. До 17 века:

S a b
b
S a
a
a
a
a b
S
h
2
b
2

3.

y
С появлением дифференциального и интегрального
исчисления:
S
S
0
S1
S3
S2
x

4. Задача о площади криволинейной трапеции.

y f (x)
y
0
a
b
x

5.

y f (x)
y
x1 x2
0
xi
x n
c
c
c
c
x
a = 0 x1 x2 … xi 1 xi xn 1 xn = b
1
2
i
n
1. Разобьем [a, b] на n равных отрезков точками a x0 x1 x2 ... xn b
В результате получим промежутки: x1, x2 ,..., xi ,..., xn
2. На каждом xi выберем произвольную точку ci
n
3. Найдем f (c1 ) x1 f (c2 ) x2 ... f (cn ) xn f (ci ) xi
i 1
формула интегральной суммы
(1)
x

6.

Опр: Если при любом разбиении отрезка
[a, b] на части и при любом выборе
точек ci на каждой части
интегральная сумма стремится к
одному и тому же пределу, то его
называют определенным интегралом
и обозначают:
b
a
f ( x)dx lim
xi 0
f (c ) x
i 1
i
i
(2)

7.

Теорема: Если функция f (x ) непрерывна на
отрезке [a, b], а функция F (x )
является первообразной для f (x )
на этом отрезке, то справедлива
формула:
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a) (3)
a
формула Ньютона-Лейбница

8.

И. Ньютон
Г. Лейбниц

9.

b
f ( x)dx
a
lim
xi 0
f (c ) x
i 1
i
i
b
f ( x)dx F ( x)
a
b
a
F (b) F (a)

10.

Свойства определенного интеграла:
b
1)
c f ( x)dx c
a
2)
3)
b
f ( x)dx.
a
b
b
b
a
a
a
b
c
b
a
a
c
( f ( x) ( x))dx f ( x)dx ( x)dx.
Если a c b, то
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
b
4)
Если f ( x) 0, x [a, b], то
f ( x)dx 0.
a
5)
b
b
a
a
Если f ( x) ( x) для всех x [a, b], то f ( x)dx ( x)dx.

11.

y f (x)
y
0
a
с
b
x

12.

y
0
a
b
x

13.

b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a)
a
Пример:
4
4
4
4 4
x
x
dx
2xdx
1
1 ( x 2 x)dx 1
4
3
3
1
2 4
x
2
2
1
4 4
x
4
x
2 4
1
1
256 1
255
44 14
2
2
) (16 1)
15 78,75
( ) (4 1 ) (
4
4
4
4 4