Свойства определенного интеграла

1.

Интегрируемая на отрезке [a,b] функция
y=f(x) ограничена на этом отрезке.

2.

Если на отрезке [a,b] функция y=f(x)
непрерывна, то она интегрируема на
этом отрезке.

3.

1
Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.
b
b
a
a
k f ( x)dx k f ( x)dx

4.

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и
выбор точек
1 , 2 ... n
Рассмотрим интегральную сумму:
n
k f ( ) x
i 1
i
i
n
k f ( i ) xi
i 1
Переходим к пределу в левой и правой части
равенства при
max x 0
i

5.

n
lim
max xi 0
k f ( ) x
i
i 1
i
k lim
n
lim k f ( i ) xi
max xi 0
max xi 0
i 1
n
f ( ) x
i
i 1
i
Следовательно по определению:
b
b
a
a
k f ( x)dx k f ( x)dx

6.

2
Определенный интеграл от алгебраической
суммы (разности) двух функций равен
сумме (разности) интегралов от
этих функций.
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx

7.

3
Если отрезок интегрирования разбит
на части, то интеграл на всем отрезке
равен сумме интегралов по каждому
из участков разбиения.
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

8.

Геометрически это означает, что если a<c<b и
функция y=f(x) неотрицательна на [a,b], то
согласно
геометрическому
смыслу
определенного интеграла
b
c
b
f ( x)dx S f ( x)dx S f ( x)dx S
1
a
a
S1 S2 S
c
2

9.

y
y f (x)
1
a
2
c
b x

10.

4
f ( x) g ( x)
Если на [a,b], где a<b,
то
b
b
a
a
f ( x)dx g ( x)dx

11.

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и
выбор точек 1 , 2 ... n
Если
f ( x) g ( x) то для интегральных сумм:
n
n
f ( ) x g ( ) x
i
i 1
i
i 1
i
i
Переходим к пределу в левой и правой части
неравенства при max xi 0
n
lim
max xi 0
f ( ) x
i
i 1
i
lim
max xi 0
b
b
a
a
n
g ( ) x
i 1
f ( x)dx g ( x)dx
i
i

12.

Пусть на [a,b], где a<b,
m f ( x) M
где m и M некоторые числа. Тогда
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a

13.

По свойству 4 имеем:
b
b
b
a
a
a
mdx f ( x)dx Mdx
По свойству 1 и геометрическому смыслу
определенного интеграла:
b
mdx m(b a)
a
b
Mdx M (b a)
a
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a

14.

5
Если на [a,b], где a<b, функция y=f(x)
непрерывна, то найдется такое значение
a, b
что
b
f ( x)dx f ( ) (b a)
a

15.

По свойству функции, непрерывной на отрезке,
для произвольного значения
x [ a, b]
справедливо неравенство:
m f ( x) M
Где m и М – наименьшее и наибольшее значения
функции на отрезке. Тогда

16.

b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a
b
1
m f ( x)dx
M
b a
a
Но функция, непрерывная на отрезке, принимает
любое значение, заключенное
между ее
наименьшим и наибольшим значениями, поэтому
найдется такое число
a, b
что
b
f ( x)dx f ( ) (b a)
a

17.

Пусть
f ( x) 0
Тогда теорема о среднем утверждает, что найдется
такая точка
a, b
что площадь под кривой y=f(x) на [a,b] равна
площади прямоугольника со сторонами
f ( ) и (b a)

18.

y
y f (x)
f ( )
a
b x

19.

Равенство
b
f ( x)dx f ( ) (b a)
a
называется формулой среднего значения.
f ( )
называется средним значением функции.

20.

6
Если
на
[a,b]
функция
y=f(x)
неотрицательна, то площадь под этой
кривой численно равна определенному
интегралу
b
f ( x)dx S
a