Определенный интеграл

1.

2.

Пусть
на
отрезке
[a,b]
задана
неотрицательная функция y=f(x).
Требуется найти площадь криволинейной
трапеции, ограниченной кривой y=f(x),
прямыми x=a, x=b и осью абсцисс y=0.
Рассмотрим
ломаную,
расположенную
достаточно близко к кривой.

3.

Фигура под ломаной состоит из трапеций и
ее площадь равна сумме площадей всех
трапеций:
S Sтрап
Причем,
площадь
под
кривой
будет
приближенно равна площади под ломаной,
если ломаная достаточно близко подходит к
кривой.

4.

y
y f (x)
a
b x

5.

За искомую площадь под кривой берут
предел площади под ломаной при условии,
что ломаная неограниченно приближается
к кривой.
Разобьем отрезок [a,b] на n элементарных
отрезков точками х0, х1, …хn .
Положим
xi xi xi 1
На каждом из отрезков выберем точку ξi , и
найдем значение функции в этой точке
f ( i )

6.

Сумму вида
n
f ( ) x
i 1
i
i
называют интегральной суммой
для функции y=f(x) на отрезке [a,b] .

7.

Интегральная сумма зависит от способа
разбиения отрезка и выбора точек ξi
Каждое отдельное слагаемое в интегральной
сумме
f ( i ) xi
равно площади
сторонами
прямоугольника
Si
f ( i )
и
xi
со

8.

y f (x)
y
f ( 3 )
f ( 2 )
f ( 1 )
x0 1 x1
2
x2
3
x3
x

9.

Наибольший из отрезков разбиения
xi 1 , xi
обозначим как
max xi
Вся интегральная сумма будет равна
n
S Si
i 1

10.

Если
существует
конечный
предел
интегральной суммы при max xi 0
не зависящий от способа разбиения отрезка
[a,b] и выбора точек ξi, то он называется
определенным интегралом от функции
y=f(x) на отрезке [a,b].
b
n
lim
max xi 0
f ( ) x f ( x)dx
i 1
i
i
a

11.

Функция y=f(x) называется интегрируемой
на отрезке [a,b].
Числа a и b называются нижним и верхним
пределом, соответственно.

12.

Неопределенный интеграл
f ( x)dx
есть семейство функций, а определенный
b
интеграл
f ( x)dx
a
есть определенное число.
По определению предполагается, что а < b.
Положим
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx

13.

С учетом этого несущественно, какой предел
больше или меньше.
Если а = b, то
a
a
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
2 f ( x)dx 0
a
a
f ( x)dx 0
a

14.

Интегрируемая на отрезке [a,b] функция
y=f(x) ограничена на этом отрезке.

15.

Если на отрезке [a,b] функция y=f(x)
непрерывна, то она интегрируема на
этом отрезке.

16.

1
Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.
b
b
a
a
k f ( x)dx k f ( x)dx

17.

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и
выбор точек
1 , 2 ... n
Рассмотрим интегральную сумму:
n
k f ( ) x
i 1
i
i
n
k f ( i ) xi
i 1
Переходим к пределу в левой и правой части
равенства при
max x 0
i

18.

n
lim
max xi 0
k f ( ) x
i
i 1
i
k lim
n
lim k f ( i ) xi
max xi 0
max xi 0
i 1
n
f ( ) x
i
i 1
i
Следовательно по определению:
b
b
a
a
k f ( x)dx k f ( x)dx

19.

2
Определенный интеграл от алгебраической
суммы (разности) двух функций равен
сумме (разности) интегралов от
этих функций.
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx

20.

3
Если отрезок интегрирования разбит
на части, то интеграл на всем отрезке
равен сумме интегралов по каждому
из участков разбиения.
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

21.

Геометрически это означает, что если a<c<b и
функция y=f(x) неотрицательна на [a,b], то
согласно
геометрическому
смыслу
определенного интеграла
b
c
b
f ( x)dx S f ( x)dx S f ( x)dx S
1
a
a
S1 S2 S
c
2

22.

y
y f (x)
1
a
2
c
b x

23.

4
f ( x) g ( x)
Если на [a,b], где a<b,
то
b
b
a
a
f ( x)dx g ( x)dx

24.

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и
выбор точек 1 , 2 ... n
Если
f ( x) g ( x) то для интегральных сумм:
n
n
f ( ) x g ( ) x
i
i 1
i
i 1
i
i
Переходим к пределу в левой и правой части
неравенства при max xi 0
n
lim
max xi 0
f ( ) x
i
i 1
i
lim
max xi 0
b
b
a
a
n
g ( ) x
i 1
f ( x)dx g ( x)dx
i
i

25.

Пусть на [a,b], где a<b,
m f ( x) M
где m и M некоторые числа. Тогда
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a

26.

По свойству 4 имеем:
b
b
b
a
a
a
mdx f ( x)dx Mdx
По свойству 1 и геометрическому смыслу
определенного интеграла:
b
mdx m(b a)
a
b
Mdx M (b a)
a
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a

27.

5
Если на [a,b], где a<b, функция y=f(x)
непрерывна, то найдется такое значение
a, b
что
b
f ( x)dx f ( ) (b a)
a

28.

По свойству функции, непрерывной на отрезке,
для произвольного значения
x [ a, b]
справедливо неравенство:
m f ( x) M
Где m и М – наименьшее и наибольшее значения
функции на отрезке. Тогда

29.

b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a
b
1
m f ( x)dx
M
b a
a
Но функция, непрерывная на отрезке, принимает
любое значение, заключенное
между ее
наименьшим и наибольшим значениями, поэтому
найдется такое число
a, b
что
b
f ( x)dx f ( ) (b a)
a

30.

Пусть
f ( x) 0
Тогда теорема о среднем утверждает, что найдется
такая точка
a, b
что площадь под кривой y=f(x) на [a,b] равна
площади прямоугольника со сторонами
f ( ) и (b a)

31.

y
y f (x)
f ( )
a
b x

32.

Равенство
b
f ( x)dx f ( ) (b a)
a
называется формулой среднего значения.
f ( )
называется средним значением функции.

33.

6
Если
на
[a,b]
функция
y=f(x)
неотрицательна, то площадь под этой
кривой численно равна определенному
интегралу
b
f ( x)dx S
a