Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла

1.

Математика ППИ.
ЛЕКЦИЯ № 14.
Определенный интеграл.
Приложения определенного
интеграла.

2. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ

5. Вычисление объемов тел и площадей
поверхностей тел вращения.

3. ЛИТЕРАТУРА

[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное
исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004. с.
340-375;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс
высшей математики. Москва: Издательство АСТ,
2004.. с. 229-250;
[14] Л.К. Потеряева, Г.А. Таратута. Курс высшей
математики IV. Челябинск: Челябинский военный
авиационный краснознамённый институт штурманов,
2002 г.с. 80-94.

4. Вычисление объемов тел вращения

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна и
неотрицательна на отрезке [a;b]. Тогда тело,
образованное
вращением
вокруг
оси
Ox
криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции y=f(x), имеет объем V, который может быть
найден по формуле: b
V y 2 dx
a

5.

Доказательство. Разобьем отрезок [a;b] точками
a=x0,x1,…,x i-1,xi,…,xn=b на n частей;
причем xi- x i-1 = Δxi , обозначим λ=max Δxi .

6.

На каждом из частичных отрезков [xi-1 ; xi]
выберем произвольно точку сi ; а также на каждом
частичном отрезке [xi-1 ; xi] построим прямоугольник,
который при вращении вокруг оси Ox опишет цилиндр
с высотой Δx i и радиусом основания f(ci), объем
которого
ΔVi= π∙f 2(сi)∙Δxi.

7.

Найдем объем соответствующего ступенчатого тела,
составив интегральную сумму
n 2
f (ci ) xi
i 1
Для непрерывной функции f(x) предел интегральной
суммы существует при λ→0 (n→∞) и равен объему
рассматриваемого тела вращения
n
b
V lim f 2 (ci ) xi f 2 ( x)dx
0 i 1
a
n

8.

Таким образом,
b
b
V f 2 ( x)dx y 2 dx
a
a
что и требовалось доказать

9.

Пример.
Найдите объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной
линиями y=ex, x=1 и осями координат .
Решение.

10.

Фигура, ограниченная данными линиями,
является криволинейной трапецией, поэтому
получим
1
1
V (e ) dx e dx
x
0
2
2x
0
1
e d ( 2 x)
20
2x
2
1
e
2x
0
2
(e 2 1) 10,1

11.

Пример. Найти объем тела, полученного при вращении
криволинейной трапеции, ограниченной прямой х 4 и
кривой y 2 4 x , вокруг оси Оу.
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
-2
-4
-6
у2
V 16dу
4
4
4
4
4
2
4
4 5 ( 4) 5
у5 4
4 4 512
dу 16 х
128
16 8
5
16
80
80
10
5
4
4

12. Площадь поверхности вращения

Пусть дана поверхность, образованная вращением
дуги линии y=f(x), a≤x≤b, относительно оси Ox.
Предположим, что на отрезке [a;b] функция y=f(x) и
её производная f´(x) непрерывны и, кроме того,
f(x) ≥0. Тогда площадь поверхности вращения
можно вычислить по формуле
b
P 2 f ( x) 1 ( f ( x)) 2 dx
a

13.

Пример. Найти площадь поверхности шара
радиуса R.
Решение. Можно считать, что поверхность шара
образована вращением полуокружности y R 2 x,2
-R≤x≤R, вокруг оси Ox. По формуле находим
x
S 2 R 2 x 2 1
2
2
R
R x
R
2
R
2 x 2 x 2 dx 2 Rx R 4 R 2
dx 2
R
R
R

14.

Площадь поверхности вращения кривой, заданной
параметрическими уравнениями
x x(t ),
y y (t ), t t t
1
2
можно вычислить по формуле
t2
Р 2 y(t ) ( x (t )) 2 ( y (t )) 2 dt
t1

15.

Площадь поверхности вращения кривой, заданной в
полярной системе координат уравнением
( ) ,
можно вычислить по формуле
Р 2 sin 2 ( ) ( ( )) 2 d

16.

Контрольная работа № 3
Найти интегралы
4
5
1)
4
x3
x
,
.
,
,
3)
5)
dx
,
,
2 xdx
3
4 ln x
4) 3 dx
x
5 4 x2
3x 4
8x 4x2 3
dx
,
3
.
6 xdx
2) 2
3 x 1
cos x
6)
dx
2
2 sin x
x
dx
x 2