Определенный интеграл. Его основные свойства

1. Тема: Определенный интеграл. Его основные свойства.

2. Первообразная

Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x) на
данном промежутке, если для любого
x из этого промежутка F’(x) = f(x).
Пример:
Первообразной для функции f(x)=x на всей
числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку
(x2/2)’=x.

3. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных
данной функции f(x) называется ее
неопределенным интегралом и
обозначается f ( x)dx :
f ( x)dx F ( x) C
,
где C – произвольная постоянная.

4.

Фигура aABb называется
криволинейной трапецией

5. Определенный интеграл

Вычислим площадь криволинейной трапеции.
Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем
через полученные точки прямые, параллельные оси
OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется
на n частей. Площадь всей трапеции приближенно
равна сумме площадей столбиков.
S n f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 ... f ( xn 1 ) xn 1
S Sn
по определению S lim S n
, его называют
n
определенным интегралом от функции
b
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
f ( x)dx
a

6.

Теорема: Если функция f (x ) непрерывна на
отрезке [a, b], а функция F (x )
является первообразной для f (x )
на этом отрезке, то справедлива
формула:
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a) (3)
a
формула Ньютона-Лейбница

7.

Вычислите определённые интегралы:
5
9
1

8. До 17 века:

S a b
b
S a
a
a
a
a b
S
h
2
b
2

9.

y
С появлением дифференциального и интегрального
исчисления:
S
S
0
S1
S3
S2
x

10. Историческая справка:

Обозначение интеграла Лейбниц произвёл от
первой буквы слова «Сумма» (Summa).
Ньютон в своих работах не предложил
альтернативной символики интеграла, хотя
пробовал различные варианты. Сам термин
интеграл придумал Якоб Бернулли.
Готфрид Вильгельм
фон Лейбниц
Исаак Ньютон
Якоб Бернулли

11.

Оформление определённого интеграла в
привычном нам виде придумал Фурье.
Обозначение неопределённого
интеграла ввёл Эйлер.
Леонард Эйлер
Жан Батист Жозеф Фурье

12. Основные свойства определенного интеграла

a
f ( x)dx 0
a
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b

13.

Основные свойства определенного интеграла
b
c
b
a
a
y f (x) c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
y
0
a
с
b
x

14. Основные свойства определенного интеграла

b
b
a
a
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

15.

16. Площадь фигуры,

Ограниченной графиками непрерывных
функций y=f(x) и y=g(x) таких, что f ( x) g ( x)
для любого x из [a;b], где a и b –
абсциссы точек пересечения графиков
b
функций:
S ( f ( x) g ( x)) dx
a

17. Примеры

Вычислить площадь фигуры,
2
y
x
2x 3 и
ограниченной линиями
y x 1
2

18. Продолжение

S x 2 x 3 x 1 dx 2 x
1
2
1
2
1
x
x
2 x x 2 dx 2
2x
3
2
2
2
1
2
3
2
1 1
8
8 4
1 1
2 2 4 2 2 6
3
3 2
3 2
3 2
1
9
2 3 8 2 9
2
2
2 x 4 dx
2
2
2

19.

y x2
y
y
1
А
0
1
x
Найти площадь
фигуры
ограниченной
линиями y x
y x
2

20. Подведение итогов

Домашнее задание
П.6.7
№ 6.64(б,г,д),6.65(в),
6.69

21. Спасибо за внимание!

« ТАЛАНТ –
это 99% труда и 1% способности»
народная мудрость