Интегралы. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл

1. Интегралы

2. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных
данной функции f(x) называется ее
неопределенным интегралом
и
f ( x)dx
обозначается
:
f ( x)dx F ( x) C
,
где C – произвольная постоянная.

3. Правила интегрирования

cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax b) dx F ( ax b) C , a 0
a

4. Определенный интеграл

В декартовой
прямоугольной системе
координат XOY фигура,
ограниченная осью OX,
прямыми x=a, x=b (a<b) и
графиком непрерывной
неотрицательной на отрезке
[a;b] функции y=f(x),
называется криволинейной
трапецией

5. Определенный интеграл

Вычислим площадь криволинейной трапеции.
Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей.
Проведем через полученные точки прямые,
параллельные оси OY. Заданная
криволинейная трапеция разобьется на n
частей. Площадь всей трапеции приближенно
равна
S n f (сумме
x0 ) x0 площадей
f ( x1 ) x1 ... столбиков.
f ( xn 1 ) xn 1
S Sn
S lim S n
n
по определению
, его называют
b
определенным интегралом от функции
f ( x)dx
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
a

6. Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)

Для непрерывной функции
b
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a )
b
a
a
где F(x) – первообразная функции f(x).

7. Основные свойства определенного интеграла

a
f ( x)dx 0
a
b
dx
b
a
a
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b

8. Основные свойства определенного интеграла

b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
b
b
a
a
cf
(
x
)
dx
c
f
(
x
)
dx
,
c
const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

9. Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
положительной на промежутке [a;b]
функции f(x), осью x и прямыми x=a и
x=b:
b
S f ( x)dx
a

10. Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
отрицательной на промежутке [a;b]
функции f(x), осью x и прямыми x=a и
x=b:
b
S f ( x)dx
a

11. Геометрический смысл определенного интеграла

Замечание: Если функция изменяет
знак на промежутке [a;b] , то
b
S1 S 2 f ( x)dx
a

12. Физический смысл определенного интеграла

При прямолинейном движении
перемещение s численно равно площади
криволинейной трапеции под графиком
зависимости скорости v от времени t:
t2
S v(t )dt
t1

13. Вычисление площадей и объемов

с помощью определенного
интеграла

14. Площадь фигуры,

Ограниченной графиками непрерывных
f ( x)что
g ( x)
функций y=f(x) и y=g(x) таких,
для любого x из [a;b], где a и b –
абсциссы точек пересечения графиков
функций:
b
S ( f ( x) g ( x))dx
a

15. Объем тела,

полученного в результате вращения
вокруг оси x криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной и
неотрицательной функции y=f(x) на
отрезке [a;b]:
b
V f ( x)dx
2
a