Неопределенный и определенный интеграл
Цели и задачи урока:
Основное свойство первообразных
Неопределенный интеграл
Немного истории
В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики:
Свойства неопределенного интеграла
Таблица неопределенных интегралов
Пример
Пример
Пример
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Определенный интеграл.
Геометрический смысл определенного интеграла
Вычисление площадей
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=cos(x) на отрезке [0;π/2].
Определенный интеграл.
5.95M
Category: mathematicsmathematics

Неопределенный и определенный интеграл

1. Неопределенный и определенный интеграл

Разработано
преподавателем
математики
Кольтиновой С.В.

2. Цели и задачи урока:

1. Дать понятие неопределенного
интеграла
2. Изучить основные свойства
неопределенного интеграла
3. Научить находить неопределенный
интеграл
4. Дать понятие определенного интеграла
5. Формула Ньютона-Лейбница
6. Изучить основные свойства
определенного интеграла
7. Геометрический смысл определённого
интеграла

3.

Определение:
Функция
F(x)
называется
первообразной для функции f(x) на
некотором промежутке, если для
всех x из этого промежутка
F ( x) f ( x)

4. Основное свойство первообразных

• Если F(x) – первообразная функции f(x),
то и функция F(x)+C, где C –
произвольная постоянная, также
является первообразной функции f(x).
Геометрическая интерпретация
Графики всех первообразных
y
данной функции f(x) получаются
из графика какой-либо одной
первообразной параллельными
переносами вдоль оси y.
x

5. Неопределенный интеграл

• Совокупность всех первообразных данной
функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается
f ( x)dx
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
C
где C – произвольная постоянная
• Символ - знак неопределенного интеграла, означает
операцию интегрирования заданной функции, которая
называется подынтегральной функцией
- подынтегральное выражение
x - переменная интегрирования

6. Немного истории

• «Интеграл» - латинское слово
integro «восстанавливать» или
integer – «целый».
Одно из основных понятий
математического анализа,
возникшее в связи потребностью
измерять площади, объемы,
отыскивать функции по их
производным.
Впервые это слово употребил в
печати шведский ученый Якоб
Бернулли (1690 г.).

7.

• Операции интегрирования и
дифференцирования взаимно обратны и
последовательное выполнение над
некоторой функцией интегрирования и
дифференцирования восстанавливает
исходную функцию.

8.

• Символ ⨜ был
введен Лейбницем
(1675г.).
• Этот знак является
изменением
• латинской буквы S
– первой буквы
слова summa.

9. В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики:

В.Я. Буняковский
(1804 – 1889)
П.Л. Чебышев
(1821 – 1894)
М.В. Остроградский
(1801 – 1862)

10. Свойства неопределенного интеграла

cf
(
x
)
dx
c
f
(
x
)
dx
,
c
const
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
1
f (ax b)dx a F (ax b) C , a 0

11. Таблица неопределенных интегралов

1. dx x C .
x a 1
2. x dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
ax
x
4. a dx
C .
ln a
a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
ctgx C .
2
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x
8.

12. Пример

Вычислить x 2 3x 3 x 1 dx .
3
2
3
2
x 3 x x 1 dx x dx 3 x dx xdx dx .
3
x
3
3
4
x
4
2
x
2
x C

13. Пример

14. Пример

Вычислим
1
6
(2 3x) dx 3 6 (2 3x) C.
5

15. Определенный интеграл.

Используя геометрические методы, мы можем лишь найти
приблизительное значение площади нашей фигуры.
1. Давайте разобьем наш отрезок на n равных частей, отметим внутри
отрезка [а;b] точки a x0 x1 x2 ... xn b и
через
каждую
точку
проведем прямую параллельную оси ординат. Тогда наша фигура
разобьется на n столбиков. Площадь трапеции будет равна сумме
площадей столбиков.

16.

y f (x)
y
x1 x2
0
xi
x n
a = x0c x1c x2 … xi 1c xi xn c1 xn = b
1
2
i
В результате получим промежутки:
n
x1, x2 ,..., xi ,..., xn
2. На каждом xi выберем произвольную точку c
3. Найдем
n
i
f (c1 ) x1 f (c2 ) x2 ... f (cn ) xn f (ci ) xi
i 1
формула интегральной суммы
x

17.

Опр: Если при любом разбиении отрезка
[a, b] на части и при любом выборе
точек ci на каждой части
интегральная сумма стремится к
одному и тому же пределу, то его
называют определенным интегралом
и обозначают:
b
f
(
x
)
dx
lim
f
(
c
)
x
i
i
a
xi 0
i 1

18. Определенный интеграл.

Такой предел на самом деле существует, и для него было введено
специальное обозначение и название – определенный интеграл. Важно!
Определенный интеграл существует только в случае непрерывной или
кусочно-непрерывной функции.
Определенный интеграл от непрерывной функции y=f(x) на
отрезке [a;b] обозначается как
Читается как определенный интеграл от a до бэ эф от икс дэ икс.
Числа a и b – пределы интегрирования. (Нижний и верхний
пределы).

19.

Теорема: Если функция f (x ) непрерывна на
отрезке [a, b], а функция F (x )
является первообразной для f (x )
на этом отрезке, то справедлива
формула:
b
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
b
a
a
формула Ньютона-Лейбница

20.

21. Основные свойства определенного интеграла

a
f
(
x
)
dx
0
a
b
1.
11.
.1
dx
b
a
a
b
a
a
b
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx

22. Основные свойства определенного интеграла

b
c
b
a
a
c
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
b
b
a
a
cf
(
x
)
dx
c
f
(
x
)
dx
,
c
const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

23. Определенный интеграл.

Пример. Вычислить определенный интеграл
Решение. Первообразной для
,
служит
Воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница
Ответ: 31/5

24.

b
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
b
a
a
Пример:
4
4
4
4 4
2 4
4 4
x
x
x
2 4
1 ( x 2 x)dx 1 x dx 1 2xdx 4 1 2 2 1 4 1 x 1
3
3
256 1
255
4 4 14
2
2
) (16 1)
15 78,75
( ) (4 1 ) (
4
4
4
4 4

25. Геометрический смысл определенного интеграла

• Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
положительной на промежутке [a;b]
функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

26. Вычисление площадей

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y=2x, x=1, x=3.
Решение.
3
2 хdx x
1
2
3
у
6
3 1 9 1 8
2
2
1
2
Ответ: 8 кв.ед.
0
1
3
х

27. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=cos(x) на отрезке [0;π/2].

Решение. Давайте построим график косинуса на нашем отрезке
Площадь полученной фигуры вычисляется с помощью определенного
интеграла, гда a=0, b= π/2, f(x)=cos(x)
Ответ: 1

28.

0
0
sin хdx cos x cos ( cos 0) 1 1 2
y
1

2
0
-1
Ответ: 2 кв.ед
2
x
π

29.

Задачи для самостоятельного решения.
Найдите неопределенный интеграл
1.
5х dx
2. (4 x5)dx
3.
8.
(6 3sin x)dx
4 8x 5)dx. 9.
1 cos x dx
7dx
х
4. (3x
7.
x 4 dx
x3
x e x 1)dx
(
3
5.
(2 x) dx
6.
x

30. Определенный интеграл.

1.Вычислить определенный интеграл
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией y=sin(x)
на отрезке [2 π;3π].
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
English     Русский Rules