Определенный интеграл

1. Определенный интеграл

2. План лекции:

1. Задача, приводящая к понятию
определённого интеграла.
2. Понятие определённого интеграла.
3. Свойства определённого интеграла.
4. Вычисление определённого интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
5. Методы вычисления определённого
интеграла.
1) непосредственное интегрирование
2) метод замены переменной
3) интегрирование по частям
6. Вычисление площадей плоских фигур.

3. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Решим задачу о вычислении площади
фигуры, ограниченной графиком функции
y f x , отрезками прямых x b,
и осью Ox.Такую фигуру называют
криволинейной трапецией
x a
a
xi 1 xi
b

4. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Разобьем отрезок a, b на n частей
точками a x0 , x1, x2 ,..., xi 1, xi ,..., xn b .
При этом криволинейная трапеция
разобьется на n элементарных
криволинейных трапеций. Заменим
каждую такую криволинейную трапецию
прямоугольником с основанием
xi xi xi 1 , где i 1,2,.., n и высотой
h f xi , где xi -произвольно выбранная
внутри отрезка xi 1, xi точка.

5. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Площадь прямоугольника будет
равна Si f xi xi , а площадь
всей криволинейной фигуры
приблизительно будет равна
сумме площадей всех
прямоугольников:
n
n
i 1
i 1
S Si f xi xi .

6. Определенный интеграл

Определение.
n
Выражение f xi xi , где
i 1
xi xi xi 1 , называется
интегральной суммой функции
f x на отрезке a, b .

7. Определенный интеграл

Определение.
Если существует конечный
n
lim
f xi xi ,
max xi 0 i 1
не зависящий ни от способа разбиения
отрезка a, b на части, ни от выбора точек
xi xi 1 , xi , то этот предел называется
определенным интегралом функции f x на
отрезке a, b и обозначается f x dx .
b
a

8. Определенный интеграл

Замечание.
С геометрической точки
зрения при f x 0
b
f x dx равен площади
a
криволинейной трапеции

9. Теорема о существовании определенного интеграла

Теорем а.
Если функция f x непрерывна на
отрезке a, b , то
n
f xi xi
lim
max xi 0 i 1
существует и конечен, т.е.
b
существует и конечен f x dx .
a

10. Свойства определенного интеграла

a
1. f x dx 0 ;
a
b
2. dx b a ;
a
b
a
3. f x dx f x dx ;
a
b
b
4. f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
a
b
b
a
a

11. Свойства определенного интеграла

b
b
a
b
a
5. Kf x dx K f x dx ;
c
b
a
c
6. f x dx f x dx f x dx ;
a
b
7. f x dx 0 , если f x 0 .
a

12. Вычисление определенного интеграла

Теорема.
Пусть F x - первообразная функции
b
f x . Тогда f x dx F b F a .
a
Эту формулу называют формулой
Ньютона-Лейбница, из которой следует,
что для вычисления определенного
интеграла необходимо найти
первообразную подынтегральной
функции.

13. Вычислите интегралы:

5
1).
xdx
2
10,5
2).
2
sin xdx
4
0
3).
1
x dx
0
64
3
1
dx
2
4). cos x
0
4
1

14.

15.

16.

17.

18. Пример

Вычислить
3
e
0
x .
3 dx
x
1
1
3
3 x
x
e 3 dx e 3 dx 3e 3
0
0
3 e
1
3
1
1 3
0
3 e 3 e 3
0
1 e
1
1 3 1 3
e
e

19. Вычисление интеграла

Теорем а (Замена перем енной в
определенном интеграле).
Пусть f x непрерывна на a, b , а
функция x t непрерывна
вместе со своей производной t
на отрезке , , причем a ,
b . Тогда
b
a
f x dx f t t dt .

20.

21. Метод замены переменной в определённом интеграле

22. МЕТОД замены переменной в определённом интеграле

23. Пример

x 1 t
x 1 t 2
3
2 t 2 1
xdx
2
x
t
1, dx 2tdt
0 x 1
1
x 0, t 1
x 3, t 2
t
2tdt
2
t
8 1
2 t 1 dt 2 t 1 dt 2 t 2 2 1
1
1
3 3
3 1
2
2
2
2
3
1 7
4 8
8
2 2 1 2 1 2
3 3
3 3
3

24.

Теорема (Интегрирование по
частям в определенном
интеграле).
Если функции u u x , v v x и их
производные u x и
v x непрерывны на отрезке a, b ,
b
b
a
a
b
то udv u v vdu .
a

25. Пример

dx
u ln x, du
e e dx
x x ln x 1 x
ln xdx
x
1
1
dv dx, v x
e
e
e
e
x ln x 1 dx e ln e ln 1 x 1 e e 1 1
1

26. Геометрические приложения определенного интеграла

27. Вычисление площадей

Площадь фигуры в декартовых
координатах.
y
y f x
x
0
a
b
Площадь такой
фигуры, называемой
криволинейной
трапецией,
вычисляют по
b
формуле S f x dx .
a

28.

Формулы вычисления площади с помощью
интеграла
у
у
у=f(x)
у=f(x)
x
х
a
b
а
b

29.

Формулы вычисления площади с
помощью интеграла
у
у=f(x)
S= S1+ S2
х
S2
a
c
S1
b

30. С помощью определенного интеграла записывают формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунках

1)
2)
3)
b
b
S f ( x )dx
S f ( x )dx
4)
5)
b
S g( x ) f ( x ) dx f ( x ) g( x ) dx
a
S f ( x ) g( x ) dx
a
a
c
b
c
a
6)
b
S g( x ) f ( x ) dx
a
c
b
a
c
S f ( x )dx g ( x )dx

31.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 + 2, х = 1, х = -2
у
1
S ( x 2)dx
у = х2 + 2
2
2
3
x
1
S ( 2 x) 2
3
х = -2
х=1
х
-2
1
8
S 2 ( 4)
3
3
S = 9 ед.кв
0
1

32.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
g(x) = 3 – х, f(x) = 0,5х2 + 2х + 3, х = -3, х = 2, у = 0
у
Sф = S1 + S2
0
S1 (0,5 x 2 2 x 3)dx
3
3
2
x2 2
S 2 (3 х)dx (3х ) 0
2
0
S2
S1
-3
Sф = 4,5(кв.ед)
0
х
2

33. Вычисление площадей

Площадь фигуры, ограниченной графиками
непрерывных функций y f 1 x , y f 2 x , f 1 x f 2 x и
двумя прямыми x a и x b определяется по
b
формуле S f 2 x f1 x dx
a

34. Примеры

Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
и
2
2
y x 1
y x 2x 3

35. Продолжение

Получим
S x 2 x 3 x 1 dx 2 x 2 x 4 dx
1
2
1
2
2
2
2
1
x
x
2 x x 2 dx 2
2
x
3
2
2
2
1 1 8 4
8
1 1
2 2 4 2 2 6
3
3 2
3 2 3 2
1
2
3
2
1 9
2 3 8 2 9
2 2

36.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!