_files_ElectronicEducation_Task_4193__Определенный интеграл

1. Тема:

Приложения
интеграла.
определенного

2. ПЛАН

1.
2.
3.
4.
5.
Понятие определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Метод замены переменной.
Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла.

3. 1. Понятие определенного интеграла

• К понятию определенного интеграла приводит
задача нахождения площади криволинейной
трапеции.
• Пусть на некотором интервале [a,b] задана
непрерывная функция
y f ( x) 0
Задача:
Построить ее график и найти F площадь фигуры,
ограниченной этой кривой, двумя прямыми x = a и
x = b, а снизу – отрезком оси абсцисс между
точками x = a и x = b.

4.

Фигура aABb называется
криволинейной трапецией

5.

b
f ( x)dx
• Под определенным интегралом
• от данной непрерывной функции f(x) на данном отрезкеa[a;b]
понимается соответствующее приращение ее первообразной, то
есть
• Числа a и b – пределы интегрирования, [a;b] – промежуток
интегрирования.
F (b) F (a) F ( x) /
b
a

6. Правило:

• Определенный интеграл равен разности значений первообразной
подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.
• Введя обозначения для разности
F (b) F (a) F ( x) /
b
a
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
Формула Ньютона – Лейбница.

7. 2. Основные свойства определенного интеграла.

1)Величина определенного интеграла не зависит от
2.
Основныепеременной
свойства определенного
обозначения
интегрирования, т.е.
интеграла.
где x и t – любые буквы.
2)Определенный интеграл с одинаковыми
пределами интегрирования равен нулю
b
b
a
a
f ( x)dx f (t )dt
a
f ( x)dx F (a) F (a) 0
a

8.

3) При перестановке пределов интегрирования
определенный интеграл меняет свой знак на обратный
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f ( x)dx
a
b
(свойство аддитивности)
4) Если промежуток [a;b] разбит на конечное число
частичных промежутков, то определенный интеграл,
взятый по промежутку [a;b], равен сумме определенных
интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.
b
c
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
c

9.

5)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла.
6)Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен такой же алгебраической
сумме определенных интегралов от этих функций.

10.

b
где
для
f ( x)dx f (t ) (t )dt
a
, функции
и
непрерывны на
Пример: a
= ( ), b ( ), (t ) [a; b]
t [ ; ]
(t ) (t )
;
5
=
1 x 1dx x 1 5
x 1 t
t 0 4
dt dx 4
3
0
t dt
2 2 4 2
2
16
1
t 0 t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
3
.

11. 4. Несобственные интегралы.

4. Несобственные интегралы.
Пусть функция f(x) определена на бесконечном
интервале [a; + ) и интегрируется на любом
интервале [a;b], где b < + . Если существует
b
,
lim
b
f ( x)dx
a
то этот предел называется несобственным
интегралом функции f(x) на интервале
[a; + ) и обозначается
.
f ( x)dx
a

12.

• Таким образом, по определению,
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim ( F (b) F (a))
b
a
a
b
Если этот
предел некоторое
число, то
интеграл
f ( x)dx
a
называется сходящимся,
если
предела не существует, или он равен , то говорят, что
интеграл расходится.

13. ПУАССОН, СИМЕОН ДЕНИ (Poisson, Simeon-Denis)

ПУАССОН, СИМЕОН ДЕНИ (Poisson, Simeon(1781–1840 гг.)
Denis)
Французский математик,
механик и
физик. В 1811 он
вывел получившее
широкое применение
уравнение,
связывающее
электрический потенциал с
плотностью пространственного распределения заряда
(уравнение Пуассона).

14. Интеграл Пуассона:

e
Интеграл Пуассона:
x2
a2
• если а = 1, то
• Интеграл сходится,
и его значение
e
x2
dx
.
dx

15. 5. Приложения определенного интеграла

1) Площадь плоских фигур.
b
а) если f ( x) 0 S f ( x)dx
a
б) если
в)
b
f ( x) 0 S f ( x) dx
a
c
S f ( x)dx
a
d
b
c
d
f ( x)dx f ( x)dx

16.

г)
b
S f ( x) ( x) dx
a
2)
интеграл от
величины силы по длине пути.
b
A F ( x)dx
a

17. 3) Прирост численности популяции.

N(t) прирост численности за промежуток времени от t0 до T, v(t) –
скорость роста некоторой популяции.
T
N (t ) v (t ) dt интеграл
от скорости
t0
по интервалу времени ее размножения.