Логарифмические неравенства

1. Логарифмические неравенства

mathvideourok.moy.su

2.

Определение: Логарифмическими
неравенствами называются
неравенства вида
log a f ( x) log a g ( x), где
f ( x) 0; g ( x) 0; a 0; a 1

3.

Алгоритм решения
log a f ( x) log a g ( x)
f ( x) 0
1) Если a 1, то g ( x ) 0
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
2) Если 0 a 1, то g ( x ) 0
f ( x) g ( x)

4. Решите неравенство:

1) log3 (2 x 4) log3 (14 x)
так как 3 1, то у log 3 m возрастает
на D( у ) (0; )
2 х 4 0
14 x 0
2 x 4 14 x
x 2
x 14
x 6
2
6
14 х
x (6;14)
Ответ : (6;14)

5.

2) log 1 (2 x 4) log 1 (14 x)
1
3
так как 0 1, то у log 1 m убывает
3
3
3
на D( у ) (0; )
2 х 4 0
14 x 0
2 x 4 14 x
x 2
x 14
x 6
2
6
14
x (2;6)
Ответ : (2;6)
х

6.

3) log 1 (5 2 x) 2
3
log 1 (5 2 x) log 1 9
3 1
3
так как 0 1, то у log 1 m убывает
3
3
на D( у ) (0; )
5 2 x 0
5 2 x 9
x 2,5
x 2
-2
2,5
х
x ( 2; 2,5)
Ответ : ( 2; 2,5)

7.

4) log 1 (16 4 х х 2 ) 4
4 log 1 16
2
2
log 1 (16 4 х х 2 ) log 1 16
2
2
1
так как 0 1, то у log 1 m убывает
2
2
на D( у ) (0; )
2
16 4 х х 2 0
16 4 х х 16
2
2
16
4
х
х
16
x 4x 0
Рассмотрим функцию z х 2 4 х квадратичная,
график парабола, ветви вверх
Ее нули х 0; 4
0
4
х
х 0;4
Ответ : 0;4

8.

5) lg x lg(45 x) 2 lg 2
lg x(45 x) lg100 2
так как 10 1, то у lg m возрастает
х 0
45 x 0
x (45 x) 200
на D( у ) (0; )
а)45 х 0
x 45
б ) х 45х 200 0
Рассмотрим
2
функцию z х 45х 200 квадратичная,
график парабола, ветви направлены вниз
2
Ее нули : х 45х 200 0
2
5
40
х
х1 40; х2 5
х 0;5 40;

9.

в)
х 0
х 45
х 0;5 40;
0
5
40 45 х
х 0;5 40;45
Ответ : 0;5 40;45

10.

6) log x 5log 2 x 1 0
2
2
2
4log x 5log2 x 1 0
2
2
так как ОДЗ : х 0, то
4 log х 5log 2 x 1 0 Пусть log 2 x m
4m 5m 1 0
2
Рассмотрим функцию у 4m 5m 1
2
2
2
1/4
1
график парабола, ветви вверх
Ее нули : 4m2 5m 1 0
1
m1 1; m2
4
m
1
m ;1
4

11.

1
m ;1
4
1
log 2 x 1
4
log2 2 log2 x log2 2
4
так как 2 1, то у log 2 m возрастает
на D( у ) (0; )
4
2 x 2 и x 0
4
х 2; 2
Ответ : 4 2; 2

12.

7) log 2 3 x 5 0
log 2 3 x 5 log 2 3 x 1
так как 5 1 и
log 2 3 x 5 log 2 3 x 1, то
2 3х 1
3x 1
1
x
3
1
Ответ : ;
3

13.

8) log 2 x 3 x 1
2
0 2 x 3 1
2
log 2 x 3 x 1
2х 3 1
log 2 x 3 x 2 1
а)0 2 x 3 1
1,5 х 1
Нам не известно основание
0 2 x 3 1
1)
2
log 2 x 3 x log 2 x 3 (2 x 3)
0 2 x 3 1
2
x 0
x2 2 x 3
б ) x 2 0,
х ( ;0) (0; )
в) x 2 x 3
2

14.

в) x 2 x 3
2
х 2х 3 0
2
Рассмотрим функцию у х2 2 х 3
квадратичная, график парабола, ветви вверх
Ее нули х 1;3
х ; 1 3;
х
-1
3
г )найдем решение системы
-1,5
-1
0
3
х
х 1,5; 1

15.

2 х 3 1
2)
2
log 2 x 3 x 1
2 х 3 1
2
log
x
2 x 3 log 2 x 3 (2 x 3)
а)2 х 3 1
2 х 3 1
2
x 0
x2 2 x 3
х 1
б ) x 2 0,
х ( ;0) (0; )
х2 2х 3 0
в) x 2 2 x 3
г )найдем решение системы
-1
0
3
x ( 1;3)
х
х 1;0 0;3

16.

3) Найдем объединение решений 1) и 2)
х 1;0 0;3 и х 1,5; 1
Ответ : 1,5; 1 1;0 0;3

17.

9)( х 3) lg( x 1) 0
Решим неравенство методом интервала
Рассмотрим функцию у ( х 3) lg( x 1)
непрерывная на D( у ) ( 1; ) функция
Ее нули : ( х 3) lg( x 1) 0
х 3 0 lg( x 1) 0
x 1 1
х 3
x 0
Данные точки разбивают область определения
на промежутки в каждом из которых функция
определена и непрерывна и не обращается в нуль,
а значит сохраняет свой знак согласно свойству
непрерывности функции.

18.

+
-1
у ( 0,5) 0
у (1) 0
у (9) 0
0
+
3
х
х ( 1;0) 3;
Ответ : ( 1;0) 3;