Логарифмические уравнения

1. Логарифмические уравнения

Уравнения вида
loga f(x) = logа h(х), где а ≠ 1, a > 0
называют логарифмическими уравнениями
⟺
loga f(x) = loga h(х)
f(x) = h(х)
f(x) > 0
h(х) > 0
Методы решения логарифмических уравнений:
1. Функционально-графический метод.
2. Метод потенцирования.
3. Метод введения новой переменной.

2. Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 1
Пример 2
log3 x 2 3x 5 log3 7 2x
x 2 3x 5 7 2x
7 2x 0
x 2 x 12 0
x 3,5
x1 3
x 2 4
x 3,5
x 3
Ответ: -3.
log 2 x 4 log 2 2 x 3 log 2 1 2 x
log 2 x 4 2 x 3 log 2 1 2 x
x 4 2x 3 1 2x
x 4 0
2x 3 0
1 2x 0
2x 2 13x 11 0
x 4
x 1,5
x 0,5
x 1 1
x 2 5,5
1,5 x 0,5
Ответ : 1.

3.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 3
log x 4 x 2 1 log x 4 5 x
x 2 1 5 x ,
2
x 1 0,
5 x 0,
x 4 0,
x 4 1;
x 2 x 6 0,
x 1,
x 1;
4 x 5,
x 3;
x1 3
x 2 2
x 3
4 x 1,
1 x 5;
Ответ: 2.
x=2

4.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 4
x 1 log 5 x 0,04
Т.к. обе части равенства принимают только положительные
значения, прологарифмируем их по основанию 5:
1
log5 0,04 log5
log5 5 2 2
log5 x 1 log 5 x log5 0,04
25
ОДЗ : x 0
1 log 5 x log 5 x log 5 0, 04
log 5 x log 52 x 2
log x log 5 x 2 0
2
5
пусть log 5 x t , тогда
t2 t 2 0
t1 2
t 1
2
Вернемся к исходной переменной
log 5 x 2,
log x 1;
5
x 52 ,
x 25 ОДЗ ,
1
x 0, 2 ОДЗ.
x 5 ;
Ответ: 0,2; 25.

5.

Логарифмические уравнения. Примеры
Пример 5
log x 3 x lg x 4 2 lg x
ОДЗ :
x 1,
x 0;
По определению логарифма
x 2lg x 3 x lg x 4
Пусть x
lg x
t , где t 0 тогда
Прологарифмируем обе части
по основанию 10 :
lg x lg x lg 4
lg x lg x lg 4
t 2 3t 4 0
lg 2 x lg 4
t 1 не удовлетворяет
t 4
lg x lg 4
Вернемся к исходной переменной
x lg x 4
x 10
lg 4
Ответ : 10
lg 4
.

6. Логарифмические неравенства

Неравенства вида
loga f(x) > logа g(х), где а ≠ 1, a > 0
называют логарифмическими неравенствами
loga f(x) > logа g(х)
а>1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.
0<а<1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.

7. Логарифмические неравенства

log x f x log x g x
0 x 1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.
x 1
f x g x ,
f x 0,
g x 0.
0 x 1
f x g x ,
f x 0.
x 1
f x g x ,
g x 0.

8. Логарифмические неравенства. Примеры

Пример 1
Пример 2
log3 2x 4 log3 14 x
log 1 16 4x x 2 4
2
т.к . а 3 1, то
log 1 16 4x x 2
2x 4 14 x ,
2x 4 0,
14 x 0;
2
4
log 1 16 4x x 2 log 1 16
2
2
1
1, то
2
16 4x x 2 16,
16 4x x 2 0; лишнее условие
4x x 2 0
x 2 4х 0
т.к . а
3x 18,
x 2,
x 14;
x 6,
x 2,
x 14;
x x 4 0
2
1
log 1
2 2
6
Ответ: (6; 14).
14
х
+
+
−
0
Ответ: [0; 4].
4
х

9.

Логарифмические неравенства. Примеры
Пример 3
lg x lg 45 x 2 lg 2
lg x 45 x lg100 lg 2
lg 45x x 2 lg 200
т.к . а 10 1, то
45x x 2 200,
45 x 0,
x 0;
x 2 45x 200 0,
x 45,
x 0;
0
5
н .ф. : х 2 45х 200 0
х1 5,
х 40;
2
40
45
Ответ: (0; 5) ∪ (40; 45).
х
+
+
−
5
40
х

10.

Логарифмические неравенства. Примеры
Пример 4
log22 x 2 5log2 x 1 0 ОДЗ : x 0
2log x
2
2
2
2
5 log2 x 1 0
4log x 5log2 x 1 0
пусть log 2 x t , тогда
4t 2 5t 1 0
н .ф. : 4t 2 5t 1 0
1
t
1 4,
+
+
−
t 2 1;
t
1
1
4
1
t 1
4
Вернемся к исходной переменной
1
log 2 x 1, т.к . а 2, то
4
4
2 х 2
Ответ : [4 2 ; 2].

11.

Логарифмические неравенства. Примеры
Пример 5
logx 2 2x 3 logx 2 24 6x
Возможны два случая :
x 2 1,
2x 3 24 6x ,
1
2x 3 0,
24 6x 0;
x 3,
x 27 ,
8
x 1,5,
x 4;
1,5
x ∈ (27/8; 4)
3
27/8
4
0 x 2 1,
2x 3 24 6x ,
2
2x 3 0,
24 6x 0;
2 x 3,
x 27 ,
8
x 1,5,
x 4;
х
1,5 2 3
Ответ: (2; 3)∪(27/8; 4) .
27/8
4
x ∈ (2; 3)
х

12. Логарифмическая комедия математический софизм «2>3»

Логарифмическая комедия
математический софизм
«2>3»
1 1
очевидно
4 8
2
1 1
2 2
2
3
1
1
lg lg
2
2
3
1
1
2 lg 3 lg
2
2
2 3 неверно!!!