Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения и неравенства

Алгебра 10 класс
Т.Н.Оленникова
учитель ГБОУ школы № 413
г. Санкт-Петербург

2. План урока

1. Определение.
2. Свойства и формулы логарифмирования.
3. Схема выполнения равносильных
преобразований простейших
логарифмических уравнений.
4. Примеры решения простейших
логарифмических уравнений.
5. Схема выполнения равносильных
преобразований простейших
логарифмических неравенств.
6. Примеры решения простейших
логарифмических неравенств.

3. 1. Определение.

1. Логарифмом положительного числа b (b 0)
по основанию а (a 0, a 1) называется
показатель степени, в которую надо возвести a,
чтобы получить b.
Обозначение : log a b
2. Логарифмическим уравнением (неравенством)
называется уравнение (неравенство), в котором
переменная находится под знаком логарифма.
1
Например: 1) log 4 2 log 4 x 3
x
2) log 3 ( x 2) 3

4. Примеры

log 3 9 2, так как 3 9
1
1
2. log 5 5 , так как 5 2 5
2
3. Десятичный логарифм: log 10 b lg b
1.
2
4. Натуральный логарифм:
log e b ln b, ( e 2,7182...)

5. 2. Свойства и формулы логарифмирования

a
log a b
b-
Основное логарифмическое тождество
1.
log a 1 0
3.
log a ( xy ) log a x log a y
4.
x
log a log a x log a y
y
5.
6.
2. log a a 1
log a x n log a x
1
log a k x log a x
k
n

6. 3. Схема выполнения равносильных преобразований простейших логарифмических уравнений.

1.
log a f ( x) b
a 0, a 1, то
2.
log a f ( x) log a g ( x),
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
или
f ( x) a
b
a 0, a 1, то
f ( x) g ( x)
g ( x) 0

7. 4. Примеры решения простейших логарифмических уравнений.

1) log 2 ( x 5) 3
2) log 4 ( x 5) log 4 (2 x 1)
Решение
Решение
log 2 ( x 5) 3
log 4 x log 4 (2 x 1)
x 5 2
3
x 13
Ответ : х 13
x 2 x 1
x 1
x 0
x 0
Ответ : х 1
x 1

8. 5. Схема выполнения равносильных преобразований простейших логарифмических неравенств

log a f ( x) log a g ( x)
a 0, a 1, то
2) Если а 1
1) Если 0 а 1
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
f ( x) 0
Знак неравенства
Знак неравенства
не меняется и
меняется и
учитывается ОДЗ
учитывается ОДЗ

9. 6. Примеры решения простейших логарифмических неравенств.

1) log 5 (2 x) log 5 ( x 1)
Т .к. 5 1, то функция у log 5 t возрастающая
и, учитывая ОДЗ , получаем
2 х х 1
х 1
х 1
х 1 0
х 1
Ответ : (1; )

10. Примеры решения простейших логарифмических неравенств. (продолжение)

2) log 1 (2 x) log 1 ( x 1)
2
2
1
Т .к. 0 1, то функция у log 1 t убывающая
2
2
и, учитывая ОДЗ , получаем
2 х х 1
х 1
решений нет
2 х 0
х 0
Ответ : решений нет