Логарифмические уравнения

1.

Лекция по алгебре.
Тема: логарифмические
уравнения.
Преподаватель математики Хохлова С.Н., Мещенко Н.В.

2.

Определение:
Уравнение, содержащее переменную
под знаком логарифма, называются
логарифмическими.
Например:
1) log5 x 2; 2) lg( x 5) 5;
2
3) ln(x 1) ; 4) log
3
( x 2 x 6 )
25 2

3. I. Типы простейших логарифмических уравнений

Например:
0, ax 0,15,
1) log a x b, a 1 ) log
3
имеет единственное
решение 0 , 5
b
x a
x 3 ,
x 3.
0, a : 13.
2) log a ( f ( x )) b, a Ответ
2) ln x 0 ,
имеет единственное решение
f(x) a
b
.
x 1.
Ответ : 1.

4.

Типы простейших логарифмических уравнений.
2) log a ( f ( x )) b,
f(x) a
b
Например:
1) log3 (2 x 1) 2 ,
2x 1 3 ,
2 x 9 1,
2
Ответ : 5.
х 3 16,
x 13.
.
x 5.
2) log 2 ( x 3) log 2 16 ,
Ответ : 13.
3) log3 (log4 x) 0 ,
log 4 x 3 ,
0
x 4.
Ответ : 4.

5.

Типы простейших логарифмических уравнений.
Например:
x
3) log a f x g ( x), 1)f log
x 0
x ,
8
7
x
f x a
g x
Рассмотрим функцию
f (x )=x+8
Рассмотрим функцию
1
g x
7
x
х 8 7 ,
Линейная функция, где k>0,
возрастает на R.
Показательная функция,
где 0 < a <1, убывает на R.
Графики этих функций могут пересекаться не более,
чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более
одного решения. Легко увидеть, что x = -1 является
решением данного уравнения.
Ответ: -1

6.

Типы простейших логарифмических уравнений.
Логарифмическое уравнение 4) log a f x log a g x
равносильно каждой из следующих систем:
f x 0,
g x 0,
или
f x g x
f x g x
Для решения данного уравнения 1 переходят только к
одной из этих систем (той, той которая проще) либо
решают уравнение f (x ) = g (x ), которое может иметь
корни, посторонние для исходного уравнения, и
2 проверяют каждый из них подстановкой в исходное
уравнение.

7.

4) log a f x log a g x
f x 0,
g x 0,
или
f x g x
f x g x
Например: 1) ln x 2 6 x 9 ln(3x 9),
2
x 6 x 9 3x 9,
2
x 9 x 0,
Проверка:
x 0,
x 0,
x 9.
x 9,
ln 02 6 0 9 ln 3 0 9
ln (9
ln 9 ln 9 верно .
ln 36 ln 36 верно.
2
6 9 9)
ln(3 9 9),
Ответ: 0; 9 .

8.

4) log a f x log a g x
f x 0,
g x 0,
или
f x g x
f x g x
Например:
2) log
log
log
2
2
x x 2
2
x x 2
2
2
x x 2
2
1 log x,
2
log 2 log x ,
log 2 x ,
2
2
2
x 1,
x x 2 2 x, x x 2 0,
x 2, x 2
2 x 0;
x 0;
x 0;
Ответ: 2.
2
2

9.

Типы логарифмических уравнений.
II. Уравнения с неизвестным в
основании логарифма
Например:
x 0,
3
x
1
,
1) log x 5 3
x 5
Ответ:
x3 5
x 0,
x 0,
2) log x 25 2 x 1, x 1,
( x) 2 25 2
1
x
25
x 0,2
x 0,2
x 0, x 1
x 0,2
Ответ: - 0,2
3
5

10.

При решении логарифмических уравнений
часто используют свойства логарифмов
log a ( f ( x) g ( x)) log a f ( x) log a g ( x)
f ( x)
log a
log a f ( x) log a g ( x)
g ( x)
log a ( f ( x))
p
p log a f ( x )
что приводит к возникновению опасности
потери корней заданного уравнения.

11.

Следует пользоваться формулами
в таком виде:
log a ( f ( x) g ( x)) log a
f ( x ) log a g ( x )
f ( x)
log a
log a f ( x) log a g ( x)
g ( x)
log a ( f ( x))
p
p log f ( x )
где p четное число.
a

12.

Например:
1) log16 x log 4 x log x 7;
2
1
1
log 2 x log 2 x log 2 x 7;
4
2
7
log 2 x 7;
4
log 2 x 4;
x 16.
Ответ : 16

13.

Например:
2) 2(lg x lg 6) lg x 2 lg( x 1);
2
2 уравнения
1)2Обе
части
t
a
)
x
x
1
36
,
x 0,
x 0, x 1,
Имеем2 x ( x 1) 6,
2 x
x
t a ,
2
x
(
x
1
)
36
,
( x ) x 6 0, 2
x 1 0,
x2
x
36
x 1 t a.
x2
,
2
x
Пусть
tx 1)x , причем
t 0,
x
(
6
,
lg
36
lg
,
x 1
2
разделим
на x (т.к. x 0)
2
36
x 1
имеем
2
x ( xt 1t) 6 6 0,
и умножим на 36( x 1)
t 0,
Поскольку
x ( x 1) 0,
т .к. x 1
. t 3.
t 3,
x ( x 1) 6
то
x 1,
2
x x 1 36
t 2,
Тогда x 3 x 9.
x 1,
x 9.
x 9,
Ответ: 9.

14.

III. Метод замены переменной в
логарифмическом уравнении.
Пусть логарифмическое уравнение
имеет вид :
A log f(x) B log a f(x) C 0
2
a
Тогда вводят новую переменную
t = logaf(x), где t – любое число
( ОДЗ уравнения: f(x) > 0 ) и получают
квадратное уравнение At2 + Bt + C = 0.

15.

Пример.
Решить уравнение lg2x – lgx3 = - 2
Решение.
lg2x – 3 lgx + 2 = 0, х > 0
Пусть lgx = t, t – любое число, тогда
уравнение примет вид t2 – 3 t + 2 = 0.
Откуда t1 = 1, t2 = 2.
1) lgx = 1
х = 10
2) lgx = 2
х = 100
Ответ: 10; 100

16.

IV. Решение уравнений
методом приведения
к одному основанию.
Пример 1.
log c b
log a b
log c a
Решить уравнение
log 5 x log 5 x log
5
x
3,75
5
Решение.
2
2 log 5 x log 5 x log 5 x 3,75
3

17.

Пусть lоg5x = t, t – любое число, тогда
уравнение примет вид
2
15
2 t t t
3
4
5
15
9
t
, t
3
4
4
9
9/4
4
log 5 x , x 5 , x 25 5
4

18.

Пример 2. Решить уравнение
log 2 x log x 2 2
Решение. 1
log a xb
ОДЗ:
> 0, x 1
log b a
1
log x
2
log x
2
1) Пусть lоg2x = t, t 0,
тогда t + 1/ t = 2,
t2 – 2t + 1 = 0,
(t – 1)2 = 0,
t = 1.
2
2) Имеем,
lоg2x = 1,
то
x = 2.
Ответ: 2.

19.

V. Решение уравнений методом
логарифмирования.
Пример.
Решить уравнение
x
Решение.
log3 3 x
log 3 x
log3 3 x
9
log 3 9
Так как логарифмическая функция
определена при х > 0,то обе части
(log
p
3 3x) log 3 x 2
уравнения положительны.
p log f ( x ) .
a
a уравнения по
Логарифмируем
обе части
основанию
3, имеем
(log
3 log x) log x 2
log ( f ( x))
3
3
3

20.

(1 log 3 x) log 3 x 2
log x log 3 x 2
2
3
Пусть lоg3x = t, t – любое число, тогда
t2 + t – 2 = 0, t1 = 1, t2 = – 2 .
1) lоg3x = 1
х=3
2) lоg3x = – 2
х = 1/9
Ответ: 3; 1/9

21.

Домашнее задание.
1)Разобрать и выучить лекцию.
2) Никольский, 10 кл., п.6.2, №6.11(у)
№ 6.13(а,г), 6.14(б,в), 6.16(б,г),
6.17(а,б), 6.18(а), 6.19(в)