Логарифмические уравнения. Решение логарифмических уравнений

1.

Решение логарифмических
уравнений

2. Цель урока:

Формирование знаний по теме
«Логарифмические уравнения»

3. Задачи урока:

1. Ввести понятие логарифмического
уравнения.
2. Закрепить определение логарифма,
свойства логарифма.
3. Рассмотреть и систематизировать
методы решения логарифмических
уравнений.
4. Сформировать умения применять
теоретические знания при решении
уравнений.

4. Определение логарифма

• Логарифмом положительного числа b по
основанию а называется показатель
степени, в которую надо возвести число а,
чтобы получить число b
• Основное логарифмическое тождество
a
log a b
b

5. Десятичные и натуральные логарифмы

• Десятичным логарифмом числа
называют логарифм этого числа по
основанию 10 и пишут lg b вместо log10b
• Натуральным логарифмом числа
называют логарифм этого числа по
основанию е, где е – иррациональное
число, приближенно равное 2,7. При
этом пишут ln b вместо logeb

6.

log a a 1 log a 1 0
log a a c
c

7. Свойства логарифмов:

a>0,b>0,c>0, c≠1,n≠1
log c a log c b log c ( ab)
a
log c a log c b logc
b
n log c a log a
c
n

8.

Определение:
Уравнение, содержащее
переменную под знаком
логарифма, называется
логарифмическим
log x b
a
a 0 , a 1

9.

с помощью
определения
логарифма
введение новой
переменной
потенцирования
вынесение
общего
множителя
логарифмирования
приведение
к одному
основанию
функциональнографический

10.

1. По определению логарифма:
Уравнение:
Решение:
а) log a x b, a 0 и a 1
x ab
б) log a f ( x ) b, a 0 и a 1.
f ( x) ab
в) log a f ( x ) log a g ( x ) ,
a 0 и a 1.
г) log g ( x ) f ( x ) b
f ( x) 0,
g ( x) 0,
f ( x) g ( x).
g ( x ) 0,
g ( x ) 1,
f ( x ) g ( x )b

11.

1
log 9 x
2
Ответ: х=3

12.

log 5 x 3
Ответ: х=125

13.

1
log 8 x
3
Ответ: х=2

14.

2. Метод потенцирования:
Под потенцированием понимается переход от
равенства, содержащего логарифмы, к равенству,
не содержащему их:
если , loga f(х) = loga g(х),
то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а≠ 1
Метод потенцирования применяется в том случае,
если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют
одинаковое основание

15. Метод потенцирования:

Признак:
1. Пропотенцировать обе
части уравнения по
уравнение должно
основанию равному
быть представлено в виде
основанию логарифма;
равенства двух логарифмов
2. Перейти к равенству
по одному основанию
подлогарифмических
выражений, применив
log a f x log a g x
свойство логарифма;
3. Решить уравнение и
проверить
полученные корни;
4. Записать
удовлетворяющие
корни в ответ.

16. 3. Метод вынесения общего множителя:

17.

Физминутка для глаз

18.

4. Метод введения новой переменной:
Пример:
log 32 x log 3 x 2
ОДЗ:
Пусть
log 3 x t ,
x 0.
тогда
t 2 t 2,
t 2 t 2 0.
t1 1, t2 2.
Значит,
log 3 x 1
или
log 3 x 2
x 3 1
x 32
1
x .
3
x 9.
1
Ответ: , 9.
3

19.

Решите уравнения:
lg x 2 lg x 1 0
2
3 log 0 , 5 x 5 log0 , 5 x 2 0
2

20. Метод введения новой переменной:

Признак:
Все логарифмы
в уравнении могут быть
сведены к одному и тому же
логарифму, содержащему
переменную
1. Определить ОДЗ уравнения
(подлогарифмические
выражения положительны);
2. Произвести замену
переменной;
3. Решить полученное
уравнение;
4. Составить простейшие
логарифмические уравнения,
возвращаясь к
первоначальной переменной;
5. Проверить полученные корни
по ОДЗ;
6. Записать удовлетворяющие
ОДЗ корни в ответ.

21.

5. Метод логарифмирования обеих
частей уравнения:

22. Метод логарифмирования:

1.
Признак:
переменная
содержится и в основании
степени, и в показателе
2.
степени под знаком
логарифма
Xlgx+2 = 1000
3.
4.
Определить ОДЗ
уравнения
(подлогарифмические
выражения
положительны);
Прологарифмировать
обе части уравнения по
основанию равному
основанию логарифма в
показателе степени;
Вынести показатель
степени за знак
логарифма, пользуясь
свойством логарифма;
Решить полученное
уравнение, пользуясь
методом замены
переменной.

23.

Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
lgxlgx+2 = lg1000

24.

Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
lgxlgx+2 = lg1000
( lgx+2)·lgx=lg1000
lg2x+ 2lgx- 3=0
lgx=а
а2 + 2а- 3=0

25.

Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
lgxlgx+2 = lg1000
( lgx+2)·lgx=lg1000
lg2x+ 2lgx- 3=0
lgx=а
а2 + 2а- 3=0
а=- 3 а=1.
lgx=1,
x=10
lgx=- 3,
x=10-3=0,001
Ответ: 0,001; 10.

26.

Физминутка для глаз

27.

6. Метод приведения логарифмов к
одному и тому же основанию:

28.

7. Функционально-графический метод:

29.

Решите уравнение:
log 5 x 0
y
Ответ: х = 1
1
-1
0
1
x

30.

Самостоятельно:
Решите уравнение:
log 2 x 0
5
Ответ: х = 1
у
х

31.

Решите графически уравнения:
а) lg x = 1 – x;
б) log1/3 x = x – 4;
в) log2 x = 3 – x.

32.

33.

Этапы решения уравнения:
1. Найти область допустимых
значений (ОДЗ) переменной
2. Решить уравнение, выбрав метод
решения
3. Проверить найденные корни
непосредственной
подстановкой
в исходное уравнение или выяснить,
удовлетворяют ли они условиям ОДЗ

34. Рефлексия:

• Какую цель ставили перед собой на
уроке?
• Cмогли ли её достичь?
• Какой метод вам больше понравился?
• Оцените свою деятельность на уроке.