Логарифмические неравенства. Теория и решение

1. Логарифмические неравенства

Подготовил презентацию
Уразаев Аскар

2.

Определение: Простейшим логарифмическим неравенством является
соотношение вида:
loga f(x) > logag(x)lo{{g}_{a}}~f (x)~>~lo{{g}_{a}}g(х) loga f(x) > logag(x),
где f(x) и g(x), g(x) – некоторое выражение, зависящее
от x (например, f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1).f(х)=1+2x+{{x}^{2}},~g (x)=3{x} 1).f(x)=1+2x+x​2​, g(x)=3x−1).

3. ТЕОРИЯ

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.
Поэтому решение неравенств вида logaf(x)>logag(x) сводится к решению соответствующих неравенств для функций f(x) и g(x).
Если основание a>1, то переходят к неравенству f(x)>g(x) (знак неравенства не меняется), т.к. в этом случае логарифмическая функция возрастающая.
Если основание 0<a<1, то переходят к неравенству f(x)<g(x) (знак неравенства меняется), т.к. в этом случае логарифмическая функция убывающая.
В обоих случаях дополнительно находят ОДЗ:
{f(x)>0g(x)>0
при условии, что основание a>0,a≠1.
Полученное множество решений неравенства должно входить в ОДЗ, поэтому находят пересечение множеств.

4.

при потенцировании, для значений
знак неравенства сохраняется; а для значений
, меняется на
противоположный.
В случае если переменная содержится и в основании, и в подлогарифмическом выражении, например ,
решение разбивается два случая, когда и, когда , то есть

5.

I. Свойства логарифмов.
•Основное логарифмическое тождество:
alog a x x
log a x y log a x log a y
log a
x
log a x log a y
y
log a x n n log a x
log a a 1
log a 1 0
log a b
log b x
- формула
перехода к другому основанию
log b a
1
x log a x
n
log a x
log a n
1
log b a

6. ПРИМЕРЫ

Lg x 4 Lg 2x 3 Lg 1 2x
Решение.
x 4 2 x 3 1 2 x
x 4 0
ОДЗ : 2 x 3 0
1 2 x 0
2 x 2 13 x 11 0
3
1
x .
2
2
D 81
x1 1
D 9
11
x2
2
В ОДЗ входит только один корень x 1
Ответ :
x 1.

7.

Log 1 26 x 2 0.
0 Log
26
1
26
1
Log 1 26 x 2 Log 1 1, т.к.
26
26
1
0
1, функция убывает, знак неравенства
26
меняется на противоположный. ОДЗ : 26 x 2 0
26 x 2 1
26 x 2
26 x 3
1
x
13
1
x ;
13
3
x
.
26
3
x ;
26
1 3
Ответ : ;
13 26