Признаки сходимости несобственных интегралов. Теорема 1. Признак сравнения несобственных интегралов 1 рода

1.

2.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны
на промежутке [a, )
и удовлетворяют условию
0 f ( x) g ( x)
тогда из сходимости интеграла
g ( x)dx
a
следует сходимость интеграла
f ( x)dx
a

3.

А из расходимости интеграла
f ( x)dx
a
следует расходимость интеграла
g ( x)dx
a

4.

Аналогичный признак сходимости можно
сформулировать
для
несобственных
интегралов от не неограниченных функций:

5.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны
на полуинтервале [a, b)
и для всех точек в некоторой
окрестности
особой
точки
выполняется условие
0 f ( x) g ( x)
тогда из сходимости интеграла
b
g ( x)dx
a
b
следует сходимость интеграла
f ( x)dx
a

6.

А из расходимости интеграла
b
f ( x)dx
a
следует расходимость интеграла
b
g ( x)dx
a

7.

Несобственный интеграл
f ( x)dx
a
называется абсолютно
сходящимся, если
сходится интеграл
f ( x) dx
a
Несобственный интеграл
f ( x)dx
a
называется условно сходящимся,
если
он
сходится, а интеграл f ( x) dx - расходится.
a