Сходимость несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций

1. Здравствуйте!

Лекция №14

2.

Сходимость несобственных интегралов второго рода от
неотрицательных функций
Пусть функции f (x) и g (x ) неотрицательны (то есть f ( x) 0 и
g ( x) 0 ) и точка b является особой точкой для обеих из них.
Приводимые ниже теоремы полностью аналогичны соответствующим
теоремам для несобственных интегралов первого рода.

3.

b
Теорема 1. Для сходимости
f ( x)dx
необходимо и достаточно,
a
чтобы
b
L 0 b a
f ( x)dx L .
a
Доказательство.
Рассмотрим функцию ( )
b
f ( x)dx .
Если , то область
a
интегрирования увеличивается, а так как f ( x) 0 , то и ( ) .
Поэтому, для существования конечного lim ( ) , согласно теоремы о
0
монотонно возрастающей функции, необходимо и достаточно, чтобы
она была ограниченной сверху, то есть должно быть выполнено
условие
b
L 0 b a ( )
f ( x)dx L ,
a
что и требовалось доказать.

4.

Теорема 2. Пусть x [a, b) f ( x) g ( x) . Тогда
b
а) из сходимости g ( x ) dx следует сходимость
a
б) из расходимости
b
f ( x)dx ;
a
b
b
a
a
f ( x)dx следует расходимость g ( x)dx .

5.

Доказательство.
b
А) Пусть
g ( x)dx сходится. Тогда, согласно теореме 1,
a
b
L 0 b a
Но x [a, b) f ( x) g ( x) и поэтому
0 b a
b
и, согласно теореме 1,
a
b
b
a
a
f ( x)dx g ( x)dx L ,
f ( x)dx сходится.
a
g ( x)dx L .

6.

b
f ( x)dx
Б) Пусть
расходится. Так как f ( x) 0 , то это означает,
a
b
что
lim
0
f ( x)dx .
b
a
b
a
a
Но,
так
как
g ( x) f ( x) ,
g ( x)dx f ( x)dx , и поэтому
b
lim
0
g ( x)dx lim f ( x)dx ,
a
b
что и означает, что lim
0
b
0
a
b
g ( x)dx , то есть g ( x)dx расходится.
a
a
то

7.

Теорема 3. Пусть lim
x b
b
b
a
a
f ( x)
K,
g ( x)
0 K . Тогда интегралы
f ( x)dx и g ( x)dx сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
f ( x)
1. В формулировке теоремы сказано, что lim
K . Согласно
x b g ( x )
определению предела это значит, что
f ( x)
(*)
0 0 x b x b K
K .
g ( x)

8.

b
2. Пусть
g ( x)dx
сходится. В (*) рассмотрим вторую половину
a
неравенства, которую запишем в виде f ( x) ( K ) g ( x) . Тогда
имеем следующую цепочку следований (сообразите сами, где идет
ссылка на свойства несобственных интегралов и где на теорему 2):
b
b
b
g ( x)dx сходится g ( x)dx сходится ( K ) g ( x)dx сходится
b
b
a
b
b
b
a
f ( x)dx сходится f ( x)dx сходится.

9.

b
3. Пусть теперь
f ( x)dx сходится. Возьмем настолько малым,
a
чтобы было K 0 . Тогда из левого неравенства в (*) следует, что
g ( x) f ( x) ( K ) и мы имеем следующую цепочку следований (и
снова сообразите сами, где идет ссылка на свойства несобственных
интегралов и где на теорему 2):
b
b
b
f ( x)
f
(
x
)
dx
сходится f ( x ) dx сходится
dx сходится
a
K
b
b
b
b
b
a
g ( x)dx сходится g ( x)dx сходится.

10.

Практический признак сходимости.
(b x) f ( x) K , 0 K .
Пусть b особая точка и lim
x b
b
Тогда f ( x ) dx сходится при 1 и расходится при 1.
a
(Заметим снова, что вопрос о том, как же находить , остается на
данном этапе открытым).
Доказательство.
1
Возьмем функцию g (x ) в виде g ( x)
. Тогда условие
(b x)
теоремы 3 примет вид lim (b x) f ( x) K , 0 K и
x b
b
f ( x)dx
a
b
dx
сходится или расходится одновременно с интегралом
.
(b x)
a
Рассмотрим поэтому вопрос о сходимости этого интеграла.

11.

1. Пусть 1. Тогда
b
.
a
dx
(b x)
1
b a
du
u
b a
u
du
b a
u
(b a)1 1
.
1
1
Будут два варианта:
1 0 и
а) 1. В этом случае 1 0 , поэтому lim
0
b
dx
a (b x) lim
0
b
dx
так что
сходится.
(b x)
a
b
a
dx
(b a)1
(b x)
1

12.

б) 1. В этом случае 1 0 , поэтому lim 1 и
0
b
dx
a (b x) lim
0
b
a
dx
,
(b x)
b
dx
a (b x) расходится.
2. 1. Тогда
b
b
b a
dx
dx
du
lim
lim ln(b a ) ln ,
a b x lim
0
b x 0 u 0
a
так что
b
так что
dx
a b x расходится.
b
dx
Таким образом,
сходится при 1 и расходится при
(b x)
a
b
1. По теореме 3
при 1.
f ( x)dx
a
также сходится при 1 и расходится

13.

Главные значения несобственных интегралов
Вернемся
к
интегралу
f ( x)dx .
Его
определение
было
следующим:
f ( x)dx
a
lim
B
A
f ( x)dx lim f ( x)dx (а любое).
A
B
a
Обратите внимание на одну деталь: в этом определении два предела
и величины А и В совершенно не связаны друг с другом, они живут
«каждый сам по себе».
Так вот, главным значением этого интеграла называется
величина
V.p. f ( x)dx lim
A
A
f ( x)dx .
A
(V.p. первые буквы слов «valeur principale», что, в переводе с
французского, и означает «главное значение»). Обратите внимание на
то, что здесь только один предел. Это выражение получается из
предыдущего, если завязать величины А и В соотношением B A.

14.

Если
f ( x)dx
не существует, но существует V.p. f ( x ) dx , то
говорят, что интеграл
f ( x)dx
существует в смысле главного
значения.
Рассмотрим вычисление главного значения V.p. f ( x ) dx .

15.

Пусть f (x) нечетная функция, то есть f ( x) f ( x) . Тогда
A
очевидно, что
f ( x)dx 0 и поэтому в данной ситуации
A
V.p. f ( x ) dx 0 .
Пусть теперь f (x) четная функция, то есть f ( x) f ( x) . Тогда
очевидно, что
A
A
A
0
f ( x)dx 2 f ( x)dx и поэтому в данной ситуации
0
V.p. f ( x)dx 2 f ( x)dx .

16.

f (x) можно представить в виде
В общем случае
f ( x) ( x) ( x) , где
f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x)
( x)
, ( x)
.
2
2
Очевидно, что (x) есть четная функция, а (x) нечетная. Поэтому
0
0
V.p. f ( x)dx 2 ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx ,
что и является рабочей формулой для вычисления V.p. f ( x)dx .

17.

Рассмотрим теперь несобственные интегралы второго рода.
Пусть с есть особая точка функции f (x) и a c b . Тогда, как уже
говорилось выше,
c 1
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx .
a
1 0
a
2 0
c 2
Снова обратите внимание на то, что в этом определении два предела
и величины 1 и 2 никак друг с другом не связаны. Главное
значение этого интеграла определяется так
b
b
c
V.p. f ( x)dx lim f ( x)dx f ( x)dx ,
0
a
a
c
то есть величины 1 и 2 стали одинаковыми и предел один.

18.

Преобразование несобственных интегралов
Интегрирование по частям
Пусть функции u (x ) и v(x) непрерывны на промежутке [a, b) и
точка b является особой точкой по крайней мере для одной из них.
Тогда, вспоминая формулу интегрирования определенных интегралов
по частям, получим
b
b
a
a
udv u (b )v(b ) u (a)v(a) vdu .
Сделаем предельный переход 0 . Переменная есть в трех
слагаемых. Если существуют два предела, то существует и третий, и мы
получим
b
b
udv lim u (b )v(b ) u (a)v(a) vdu ,
0
a
a
что является формулой интегрирования по частям в несобственных
интегралах.
Для несобственных интегралов первого рода она принимает вид
udv lim u ( A)v( A) u (a)v(a) vdu .
a
A
a

19.

Замена переменных
Теорема. Пусть
1. f (x) определена на [a, b) (b особая точка);
2. x (t ) , где на [ , ) (t ) и существует непрерывная (t ) ;
3. ( ) a и lim (t ) b .
t
Тогда имеет место формула
b
a
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt .

20.

Доказательство.
Пусть b ( ) . В силу непрерывности (t ) при 0 также
и 0 . Вспоминая замену переменных в определенных интегралах,
имеем:
b
f ( (t )) (t )dt .
f ( x)dx
a
После предельного перехода 0 , получаем
b
a
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt .

21.

Пример.
Рассмотрим интеграл sin( x 2 ) dx , который называется интегралом
0
Френеля. Вопрос о его сходимости не может быть решен на основании
изученных нами признаков.
Сделаем замену переменных x t . Тогда dx dt 2 t и мы
имеем:
1
sin t
2
0 sin( x )dx 2 0 t dt .
Получившийся интеграл сходится по признаку Дирихле.