Несобственные интегралы первого рода. Лекция 12

1. Здравствуйте!

Лекция №12

2.

Несобственные интегралы первого рода
Пусть
1. функция f (x) определена на отрезке [a, ) ;
A
2. A a существует
f ( x)dx .
a
Произведем
теперь
предельный
переход
A .
Тогда
A
lim
A
f ( x)dx
называется несобственным интегралом первого рода
a
и обозначается символом f ( x ) dx :
lim
A
A
a
a
a
f ( x)dx = f ( x)dx .
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что
несобственный интеграл сходится (или: существует). Если этот
предел равен бесконечности или вообще не существует, то говорят,
что несобственный интеграл расходится (или: не существует).

3.

Совершенно
аналогично
определяются
несобственные интегралы первого рода:
a
f ( x)dx
f ( x)dx
и
a
lim
B
lim
B
f ( x)dx ,
B
a
A
f ( x)dx lim f ( x)dx (а любое).
B
A
a
следующие

4.

Простейшие свойства несобственных интегралов первого
рода
1. Если сходится f ( x ) dx , то b a сходится и
a
Наоборот, если
f ( x)dx .
b
b
f ( x)dx сходится и существует f ( x)dx , то сходится
b
a
и f ( x ) dx . При этом верно соотношение
a
b
a
a
b
A
b
A
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
Доказательство. Пусть A b a . Тогда имеем
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
Сделаем предельный переход А :
lim
A
A
b
a
a
A
f ( x)dx f ( x)dx lim f ( x)dx .
A
b

5.

Так как предел слева существует, то существует и предел справа и
f ( x)dx сходится и соотношение принимает вид
b
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
Подумайте сами, что надо изменить в предыдущей фразе, чтобы
доказать обратное утверждение.

6.

2. Если
f ( x)dx сходится, то
a
lim
A
Доказательство.
Согласно предыдущему пункту
f ( x)dx 0
A
A
a
a
A
A
A
a
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Отсюда
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
Делая предельный переход А , получаем
lim
A
A
a
A
f ( x)dx f ( x)dx lim f ( x)dx
A
a
a
f ( x)dx f ( x)dx 0.
a

7.

3. Если сходятся
a
a
f ( x)dx и g ( x)dx , то сходится также и
( f ( x) g ( x))dx и верно соотношение
a
a
a
a
( f ( x) g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x)dx .
Доказательство. Имеем
A
A
A
a
a
a
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx .
Делая предельный переход А , получаем
A
( f ( x) g ( x))dx lim ( f ( x) g ( x))dx
A
a
A
lim
A
a
A
a
a
a
f ( x)dx lim g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx.
a
A

8.

4. Если сходятся
a
a
f ( x)dx и с константа, то сходится и cf ( x)dx и
верна формула
a
a
cf ( x)dx c f ( x)dx .
Доказательство. Имеем
A
A
a
a
cf ( x)dx c f ( x)dx .
Делая предельный переход А , получаем
cf ( x)dx
a
A
lim cf ( x)dx c lim
A
a
A
A
f ( x)dx c f ( x)dx
a
a
.

9.

Сходимость несобственных интегралов первого рода от
неотрицательных функций
Важнейшим элементом теории несобственных интегралов
является следующий: надо, не вычисляя интеграла, ответить на
вопрос, сходится он или нет. В конце концов, если он сходится, то
его можно вычислить численно на ЭВМ, а вот если он расходится
попытки сосчитать его численно ни к чему хорошему не приведут.
В данном разделе мы рассмотрим вопрос о признаках сходимость
несобственных
интегралов первого рода от неотрицательных
функций. В дальнейшем будем предполагать, что x [a, )
функции f ( x) 0 и g ( x) 0 .

10.

Теорема 1. Для того, чтобы
f ( x)dx
сходился, необходимо и
a
достаточно, чтобы
A
L A a
f ( x)dx L .
a
Доказательство.
A
Рассмотрим функцию F ( A) f ( x)dx . В силу того, что f ( x) 0
a
эта функция монотонно возрастает с ростом А, так как с ростом А
промежуток интегрирования увеличивается. Но вспомним теорему о
существовании предела монотонно возрастающей функции. Согласно
этой теореме, для того, чтобы существовал конечный предел
lim F ( A) необходимо и достаточно, чтобы эта функция была
A
ограничена сверху, то есть, чтобы было выполнено условие
L A a F ( A) L .
Но если заменить F ( A) его явным выражением мы как раз и получим
условие нашей теоремы.

11.

Теорема 2. Пусть x [a, )
f ( x) g ( x) . Тогда
А) из сходимости g ( x ) dx следует сходимость f ( x ) dx ;
a
a
Б) из расходимости
f ( x)dx следует расходимость g ( x)dx .
a
a
Доказательство.
А) Пусть g ( x ) dx сходится. Тогда, согласно теореме 1,
a
A
L A a
g ( x)dx L .
a
Но x [a, ) f ( x) g ( x) и поэтому
A a
A
A
a
a
f ( x)dx g ( x)dx L ,
и, согласно той же теореме 1,
f ( x)dx
a
сходится.

12.

Б) Пусть
f ( x)dx
расходится. Так как f ( x) 0 , то это означает,
a
что lim
A
A
A
A
a
a
a
f ( x)dx . Но, так как g ( x) f ( x) , то g ( x)dx f ( x)dx ,
и поэтому
A
lim g ( x)dx lim
A
a
A
A
A
f ( x)dx ,
a
что и означает, что lim g ( x) dx , то есть g ( x ) dx расходится.
A
a
a

13.

f ( x)
K , 0 K . Тогда интегралы
x g ( x )
Теорема 3. Пусть lim
a
a
f ( x)dx и g ( x)dx сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
f ( x)
K . Согласно
x g ( x )
1. В формулировке теоремы сказано, что lim
определению предела это значит, что
f ( x)
0 b x b K
K .
g ( x)
(*)

14.

2. Пусть
g ( x)dx
сходится. В (*) рассмотрим вторую половину
a
неравенства, которую запишем в виде f ( x) ( K ) g ( x) . Тогда
имеем следующую цепочку следований (сообразите сами, где идет
ссылка на свойства несобственных интегралов и где на теорему 2):
a
b
b
b
a
g ( x)dx сходится g ( x)dx сходится ( K ) g ( x)dx сходится
f ( x)dx сходится f ( x)dx сходится.

15.

3. Пусть теперь
f ( x)dx
сходится. Возьмем настолько малым,
a
чтобы было K 0 . Тогда из левого неравенства в (*) следует, что
g ( x) f ( x) ( K ) и мы имеем следующую цепочку следований (и
снова сообразите сами, где идет ссылка на свойства несобственных
интегралов и где на теорему 2):
f ( x)
a f ( x)dx сходится b f ( x)dx сходится b K dx сходится
b
a
g ( x)dx сходится g ( x)dx сходится.

16.

Практический признак сходимости.
Пусть lim x f ( x) K , K 0, . Тогда
x
f ( x)dx сходится при
a
> 1 и расходится при 1.
(Заметим, что вопрос о том, как же находить , остается на данном
этапе открытым).
Доказательство.
1
Возьмем функцию g (x ) в виде g ( x ) . Тогда условие теоремы
x
3 примет вид lim x f ( x) K , K 0, и
x
расходится одновременно с интегралом
вопрос о сходимости этого интеграла.
f ( x)dx
сходится или
a
dx
a x . Рассмотрим поэтому

17.

1. Пусть 1. Тогда
1 A
dx x
A1 a1
a x 1 1 .
a
A
Будут два варианта:
а) 1. В этом случае 1 0 , поэтому lim A1 0 и
A
dx
dx a1
a x Alim
x
1 ,
a
A
dx
так что сходится.
x
a
б) 1. В этом случае 1 0 , поэтому lim A1 и
так что
dx
a x расходится.
A
A
dx
dx
lim
a x A a x ,

18.

2. 1. Тогда
A
dx
dx
ln A ln a ,
lim
a x A a x Alim
dx
так что
расходится.
x
a
Таким образом,
теореме 3
f ( x)dx
dx
a x сходится при 1 и расходится при 1. По
также сходится при 1 и расходится при 1.
a
Все упирается в нахождение величины . Как это делать будет
разобрано на практике.