Несобственные интегралы

1.

Математический анализ
Раздел: Определенный интеграл
Тема: Несобственные интегралы

2. §4. Несобственные интегралы

b
Для существования
f ( x)dx
необходимы условия:
1) [a;b] – конечен, a
2) f(x) – ограничена (необходимое условие существования
определенного интеграла).
Несобственные интегралы – обобщение понятия определенного
интеграла на случай когда одно из этих условий не
выполнено.

3. 1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)

Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ).
y = f(x) непрерывна на [a;b], где b a .
b
существует
a
b
Имеем:
f ( x)dx.
f ( x)dx I (b) ,
D(I) = [a;+ ) .
a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом I рода от
функции f(x) по промежутку [a;+ ) называется предел функции I(b) при b + .
Обозначают:
f ( x)dx
a

4.

Таким образом, по определению
b
f ( x)dx lim I (b) lim
b
a
b
f ( x)dx
(1)
a
При этом, если предел в правой части формулы (1) существует
и конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся.
В противном случае (т.е. если предел не существует или равен
бесконечности)
несобственный
интеграл
называют
расходящимся.
Если y = f(x) непрерывна на (– ;b] , то аналогично определяется и обозначается несобственный интеграл I рода для
функции f(x) по промежутку (– ;b]:
b
b
a
f ( x)dx .
f ( x)dx alim

5.

Если y = f(x) непрерывна на ℝ , то несобственным интегралом
I рода для функции f(x) по промежутку (– ;+ ) называют
c
f ( x)dx
f ( x)dx
f ( x)dx ,
(2)
c
где c – любое число.
Несобственный интеграл от f(x) по промежутку (– ;+ )
называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части
формулы (2) сходятся.
В противном случае, несобственный интеграл по промежутку
(– ;+ ) называется расходящимся.
Будем рассматривать несобственные интегралы I рода по
промежутку [a;+ ). Для интегралов по промежутку (– ;b] и
(– ;+ ) все полученные результаты останутся справедливы.

6.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных
интегралов I рода.
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ) и f(x) 0 , x [a;+ ).
b
Тогда
f ( x)dx
– площадь криволинейной трапеции с осно-
a
ванием [a;b], ограниченной сверху кривой y = f(x).
y
a
b
x
Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;+ ) сходится
и равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox,
кривой y = f(x) и прямой x = a (криволинейная трапеция с
бесконечным основанием) имеет площадь S.
В противном случае говорить о площади указанной области
нельзя.

7.

На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся
некоторые свойства определенных интегралов
(свойства 4, 5, 6, 7, 8).
Кроме того, для несобственных интегралов существует
обобщение формулы Ньютона – Лейбница.
Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;+ ).
Тогда b [a;+ ) имеем
b
f ( x)dx
b
F ( x) a
F ( b) F ( a )
a
b
f ( x)dx lim F (b) F (a)
b
b
lim
a
a
f ( x)dx lim F (b) F (a)
b
(3)

8.

lim F (b) F (a)
Обозначим
b
F ( x) a .
Тогда (3) примет вид:
f ( x)dx F ( x) a lim F ( x) F (a) .
x
a
(4)
Формулу (4) называют обобщением формулы Ньютона –
Лейбница для несобственных интегралов по промежутку
[a;+ ).
Аналогично для несобственных интегралов по промежутку
(– ;b] доказывается справедливость формулы
b
f ( x)dx
b
F ( x)
F (b) lim F ( x) .
x

9.

ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные
установить их расходимость:
1)
cos xdx ;
0
dx
2) n dx ;
x
a
( a 0)
0
dx
4)
;
2
4 x
xdx
7)
.
2
1 x
3)
x
e
dx ;
x
e
dx ;
0
0
5)
интегралы
6)
x
e
dx .
или

10. 2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

ТЕОРЕМА 1 (первый признак сравнения).
Пусть f(x) и (x) непрерывны на [a;+ ) и
0 f(x) (x) , x [c; + ) (где c a).
Тогда:
1) если
( x)dx – сходится, то f ( x)dx тоже сходится,
a
причем
a
c
c
a
f ( x)dx ( x)dx ;
2) если
f ( x )dx – расходится, то
ходится.
( x)dx
a
тоже рас-

11.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 1:
Пусть (σ1) и (σ2) – области в xOy , ограниченные осью Ox,
прямой x = c и кривыми y = (x) и y = f(x) соответственно.
Неравенство 0 f(x) (x) (где x [c;+ )) означает, что
область (σ2) является частью области (σ1).
y
( 2 )
( 1)
c
x
1) если область (σ1) имеет площадь, то ее часть (σ2) тоже
имеет площадь;
2) если говорить о площади области (σ2) нельзя, то и для
содержащей ее области (σ1) тоже нельзя говорить о
площади.

12.

ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения)
Пусть f(x) и (x) непрерывны и неотрицательны на [a;+ ).
f ( x)
Если lim
h , где h – действительное число, отличное
x ( x)
от нуля, то интегралы
f ( x)dx
a
и
( x)dx
a
ведут себя одинаково относительно сходимости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

13.

Замечания.
1) Теорема 2 остается справедливой и в том случае, если f(x) и
(x) непрерывны и СОХРАНЯЮТ ЗНАК на [a;+ ).
2) При использовании теорем 1 и 2 в качестве «эталонных»
интегралов обычно используют следующие несобственные
интегралы:
сходится, при n 1,
dx
dx
n
x
расходится при n 1.
a
( a 0)
e
0
x
сходится, при 0 ,
dx
расходится при 0.

14.

Пусть f(x) непрерывна на [a;+ ).
Тогда определены несобственные интегралы
f ( x)dx
è
a
f ( x) dx .
a
ТЕОРЕМА 3 (признак абсолютной сходимости).
Если сходится интеграл
тоже будет сходиться.
a
a
f ( x) dx , то и интеграл f ( x)dx
При этом интеграл
сходящимся.
f ( x )dx
называется абсолютно
a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

15.

y f (x)
y f (x)
y f (x)

16.

Если
f ( x) dx
расходится, то об интеграле
f ( x)dx
ничего
a
a
сказать нельзя. Он может расходиться, а может и сходиться.
Если
f ( x) dx
a
интеграл
расходится, а
f ( x)dx
a
f ( x)dx
– сходится, то
a
называют условно сходящимся.

17. 3. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)

Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и lim
x b 0
f ( x ) ( )
y = f(x) непрерывна на [a;b1], где a b1 < b .
b1
существует
a
b1
Имеем:
f ( x)dx
f ( x)dx I (b1) ,
D(I) = [a;b) .
a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом II рода по
промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной в точке b,
называется предел функции I(b1) при b1 b – 0 .
b
Обозначают:
f ( x)dx.
a

18.

Таким образом, по определению
b1
b
f ( x)dx lim I (b1 ) lim
b1 b 0
a
b1 b 0
f ( x)dx
(5)
a
При этом, если предел в правой части формулы (5) существует
и конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся.
В противном случае (т.е. если предел не существует или равен
бесконечности)
несобственный
интеграл
называют
расходящимся.
Если y = f(x) непрерывна на (a;b] и
lim
x a 0
f ( x ) ( ) ,
то аналогично определяется и обозначается несобственный
интеграл II рода по промежутку [a;b] от функции f(x),
неограниченной в точке a :
b
b
f ( x)dx a lima 0 f ( x)dx.
a
1
a1

19.

Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бесконечного разрыва функции, то несобственным интегралом
II рода от функции f(x) по промежутку [a;b] называют
b
a
c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a
(6)
c
Несобственный интеграл по промежутку [a;b] от функции f(x),
неограниченной внутри этого отрезка, называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (6)
сходятся.
В противном случае, несобственный интеграл по промежутку
[a;b] называется расходящимся.
Будем рассматривать несобственные интегралы II рода по
промежутку [a;b] от функции, неограниченной в точке b . Для
других несобственных интегралов II рода все полученные
результаты останутся справедливы.

20.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных
интегралов II рода.
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и f(x) 0 , x [a;b) .
b1
Тогда
f ( x)dx – площадь криволинейной трапеции с осно-
a
ванием [a;b1], ограниченной сверху кривой y = f(x).
y
b1 b x
a
Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;b] сходится и
равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой
y = f(x) и прямыми x = a, x = b (неограниченная
криволинейная трапеция) имеет площадь S.
В противном случае говорить о площади указанной области
нельзя.

21.

На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те
же свойства определенных интегралов, что и для сходящихся
интегралов I рода (свойства 4, 5, 6, 7, 8).
Кроме того, для несобственных интегралов II рода также
существует обобщение формулы Ньютона – Лейбница.
Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;b) .
Тогда b1 [a;b) имеем
b1
f ( x)dx
a
b1
F ( x) a
F (b1 ) F (a)
b1
f ( x)dx lim F (b1 ) F (a)
b b 0
b b 0
lim
1
1
a
b
f ( x)dx b limb 0 F (b1) F (a)
a
1
(7)

22.

Ранее вводили обозначение: F (b 0) lim
b1 b 0
F (b1 )
b 0
lim F (b1) F (a) F (b 0) F (a) F ( x) a
b1 b 0
.
Тогда (7) примет вид:
b
f ( x)dx
b 0
F ( x) a
lim F ( x) F (a) .
a
x b 0
(8)
Формулу (8) называют обобщением формулы Ньютона –
Лейбница
для несобственных интегралов II рода от
функций, неограниченных в точке b.
Аналогично для несобственных интегралов II рода от функций,
неограниченных в точке a, доказывается справедливость
формулы
b
f ( x)dx
a
b
F ( x) a 0
F (b) lim F ( x) .
x a 0

23.

ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные
установить их расходимость:
b
dx
1)
dx ;
n
( x a)
a
b
dx
2)
dx ;
n
(b x)
a
интегралы
или
1
dx
3) 2 .
x
1
Сформулированные в п.2 признаки сходимости несобственных
интегралов (теоремы 1, 2 и 3) останутся справедливы и для
несобственных интегралов II рода.
При использовании теорем 1 и 2 в роли «эталонных»
интегралов используют интегралы
b
сходится, при n 1,
расходится при n 1.
b
сходится, при n 1,
расходится при n 1.
dx
(b x)n dx
a
dx
( x a)n dx
a

24.

Замечание.
Некоторым расходящимся несобственным интегралам можно
приписать определенное числовое значение. А именно:
1) Если
f ( x)dx
N
– расходится, но lim
N
f ( x)dx A ,
N
то число A называют главным значением этого несобb
ственного интеграла.
2) Главным значением расходящегося интеграла f ( x )dx
a
от функции, имеющей бесконечный разрыв в точке c [a;b]
называют число A, равное
b
c
lim f ( x)dx f ( x)dx A.
0
c
a
Обозначают соответствено: v. p.
f ( x)dx ,
b
v. p. f ( x)dx.
a