Similar presentations:
Несобственные интегралы
1.
Рассмотрим интегралы, у которых один или обапредела интегрирования бесконечны, или когда
функция
не
ограничена
на
отрезке
интегрирования.
Такие интегралы называются несобственными.
2.
Пусть функция y=f(x) определена и интегрируемана произвольном отрезке [a,t].
Т.е. для t>a определена функция
t
Ф(t ) f ( x)dx
a
3.
Несобственным интеграломf ( x)dx
a
от функции y=f(x) на полуинтервале
[a, )
называется предел функции Ф(t) при
t
lim
t
t
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
4.
Если такой предел существует и конечен,то несобственный интеграл называется
сходящимся к данному пределу.
Если конечного предела не существует,
то несобственный интеграл называется
расходящимся.
5.
Геометрический смысл несобственного интегралаоснован на геометрической интерпретации
определенного интеграла на отрезке [a,t].
Это площадь бесконечной области, ограниченной
сверху неотрицательной функцией f(x), снизу –
осью х, слева – прямой х=а.
6.
y f (x)y
x a
x
7.
Вычислить интеграл1
1 x 2 dx
8.
1t
1
1
dx lim 2 dx
2
t
x
x
1
1t
1
lim
lim 1 1
t
t
x
t
1
9.
Аналогично можно определить несобственныйинтеграл на промежутке ( , b]
b
lim
t
t
b
f ( x)dx
f ( x)dx
Рассмотрим
несобственный
интервале ( , )
интеграл
на
Пусть для некоторого числа a несобственные
интегралы
10.
af ( x)dx
и
f ( x)dx
a
- сходятся. Тогда положим
a
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
и интеграл
f ( x)dx
тоже сходится.
Если хотя бы один из интегралов в левой части
расходится, то будет расходится и интеграл
f ( x)dx
11.
Вычислить интегралe dx
x
12.
Исследуем на сходимость интегралы0
e
x
dx
и
0
x
dx
0
e dx lim e dx lim e
0
e
x
x
t
t
t
t
0
e 1 - сходится.
t
x
e
dx lim
x
t
e
dx
lim
e
1
0
0
t
t
e dx
x
- расходится.
- расходится.
13.
В рассмотренных примерах сначала с помощьюпервообразной
вычислялся
интеграл
по
конечному промежутку, а затем осуществлялся
переход к пределу.
Если
для
функции
y=f(x)
первообразная F(x) на всем
интегрирования
существует
промежутке
[a, )
то по формуле Ньютона-Лейбница
t
f ( x)dx F (t ) F (a) F ( x)
a
t
a
14.
Отсюда следует, что несобственный интегралсуществует только в том случае, если существует
конечный предел
lim F (t ) F ( )
t
И тогда можно записать:
f ( x)dx F ( x)
a
a
F ( ) F (a)
15.
Аналогично:b
f ( x)dx F ( x)
f ( x)dx F ( x)
b
F (b) F ( )
F ( ) F ( )
16.
Вычислить интеграл1
2 x 2 1 dx
17.
11 x 1
2 x 2 1 dx 2 ln x 1
2
1 1
0 ln ln 3
2 3
18.
Пустьфункция
y=f(x)
непрерывна,
но
неограничена на полуинтервале [a,b). Для
определенности положим, что она ограничена и
интегрируема на любом отрезке
[ a, b ]
0 b a
но неограничена в любой окрестности точки b
или на промежутке [b , b]
19.
Несобственным интеграломb
f ( x)dx
a
от функции y=f(x) на полуинтервале
называется предел
b
lim
0
где
0
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
[ a, b)
20.
Если такой предел существует и конечен,то несобственный интеграл называется
сходящимся.
Если конечного предела не существует,
то несобственный интеграл называется
расходящимся.
Точка b называется особой точкой.
21.
Аналогичноможно
ввести
понятие
несобственного интеграла от функции y=f(x)
непрерывной
но
неограниченой
на
полуинтервале (a,b]:
b
lim
0
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
22.
Вычислить интеграл1
0
1
dx
x
23.
Особая точка х=0.1
1 1
2
1
dx 2 x
x
1
1
dx lim 2(1 ) 2
0
x
0
2(1 )
24.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.Если функция y=f(x) неограничена при х=С, где
C ( a, b)
то интеграл
b
f ( x)dx
a
тоже называется несобственным:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
25.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.Если a и b – особые точки, т.е. функция y=f(x)
неограничена и интегрируема на интервале
( a, b)
то несобственный интеграл определяется как
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Где С – произвольная точка на (a,b).
26.
Вычислить интеграл1
1
1
1 x
2
dx
27.
Особые точки: х=-1, х=1.1
1
0
1
1 x2
dx lim
0
1
1
1 x2
1
dx lim
0
1
1 x2
0
1
0
lim arcsin x 1 lim arcsin x 0
0
0
lim arcsin( 1 ) lim arcsin( 1 )
0
0
arcsin( 1) arcsin( 1)
2
2
dx
28.
Пусть функция y=f(x) интегрируема на всемпромежутке [a,b], причем b – особая точка. Если
существует первообразная F(x), имеющая предел
в особой точке х=b или непрерывная на отрезке
[a,b], то для вычисления несобственного
интеграла имеет место формула НьютонаЛейбница:
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) a
b
29.
Вычислить интеграл1
x
1
2
3
dx
30.
Особая точкафункции
х=0,
однако
3x
первообразная
1
3
непрерывна в этой точке, поэтому данный
интеграл существует:
1
x
1
2
3
dx 3x
1 1
3
1
3(1 ( 1)) 6