Несобственные интегралы

1.

Тема: Несобственные интегралы

2.

Несобственные интегралы
b
Для существования
f ( x)dx
необходимы условия:
1) [a;b] – конечен, a
2) f(x) – ограничена (необходимое условие существования
определенного интеграла).
Несобственные интегралы – обобщение понятия определенного
интеграла на случай когда одно из этих условий не
выполнено.

3.

1. Несобственные интегралы I рода
(по бесконечному промежутку)
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ).
y = f(x) непрерывна на [a;b], где b a .
b
существует
a
b
Имеем:
f ( x)dx.
f ( x)dx I (b) ,
D(I) = [a;+ ) .
a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом I рода от
функции f(x) по промежутку [a;+ ) называется предел функции I(b) при b + .
Обозначают:
f ( x)dx
a

4.

Таким образом, по определению
b
f ( x)dx lim I (b) lim
b
a
b
f ( x)dx
(1)
a
При этом, если предел в правой части формулы (1) существует
и конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся.
В противном случае (т.е. если предел не существует или равен
бесконечности)
несобственный
интеграл
называют
расходящимся.
Если y = f(x) непрерывна на (– ;b] , то аналогично определяется и обозначается несобственный интеграл I рода для
функции f(x) по промежутку (– ;b]:
b
b
a
f ( x)dx .
f ( x)dx alim

5.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных
интегралов I рода.
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ) и f(x) 0 , x [a;+ ).
b
Тогда
f ( x)dx
– площадь криволинейной трапеции с осно-
a
ванием [a;b], ограниченной сверху кривой y = f(x).
y
a
b
x
Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;+ ) сходится
и равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox,
кривой y = f(x) и прямой x = a (криволинейная трапеция с
бесконечным основанием) имеет площадь S.
В противном случае говорить о площади указанной области
нельзя.

6.

На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся
некоторые свойства определенных интегралов.
Кроме того, для несобственных интегралов существует
обобщение формулы Ньютона – Лейбница.
Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;+ ).
Тогда b [a;+ ) имеем
b
f ( x)dx
b
F ( x) a
F ( b) F ( a )
a
b
f ( x)dx lim F (b) F (a)
b
b
lim
a
f ( x)dx b lim F (b) F (a)
a
(3)

7.

lim F (b) F (a)
Обозначим
b
F ( x) a .
Тогда (3) примет вид:
f ( x)dx F ( x) a lim F ( x) F (a) .
x
a
(4)
Формулу (4) называют обобщением формулы Ньютона –
Лейбница для несобственных интегралов по промежутку
[a;+ ).
Аналогично для несобственных интегралов по промежутку
(– ;b] доказывается справедливость формулы
b
f ( x)dx
b
F ( x)
F (b) lim F ( x) .
x

8.

ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные
установить их расходимость:
1)
cos xdx ;
0
dx
2) n dx ;
x
a
( a 0)
0
dx
4)
;
2
4 x
xdx
7)
.
2
1 x
3)
x
e
dx ;
x
e
dx ;
0
0
5)
интегралы
6)
x
e
dx .
или

9.

3. Несобственные интегралы II рода
(от неограниченных функций)
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и lim
x b 0
f ( x ) ( )
y = f(x) непрерывна на [a;b1], где a b1 < b .
b1
существует
a
b1
Имеем:
f ( x)dx
f ( x)dx I (b1) ,
D(I) = [a;b) .
a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом II рода по
промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной в точке b,
называется предел функции I(b1) при b1 b – 0 .
b
Обозначают:
f ( x)dx.
a

10.

Таким образом, по определению
b1
b
f ( x)dx lim I (b1 ) lim
b1 b 0
a
b1 b 0
f ( x)dx
(5)
a
При этом, если предел в правой части формулы (5) существует
и конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся.
В противном случае (т.е. если предел не существует или равен
бесконечности)
несобственный
интеграл
называют
расходящимся.
Если y = f(x) непрерывна на (a;b] и
lim
x a 0
f ( x ) ( ) ,
то аналогично определяется и обозначается несобственный
интеграл II рода по промежутку [a;b] от функции f(x),
неограниченной в точке a :
b
b
f ( x)dx a lima 0 f ( x)dx.
a
1
a1

11.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных
интегралов II рода.
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и f(x) 0 , x [a;b) .
b1
Тогда
f ( x)dx – площадь криволинейной трапеции с осно-
a
ванием [a;b1], ограниченной сверху кривой y = f(x).
y
b1 b x
a
Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;b] сходится и
равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой
y = f(x) и прямыми x = a, x = b (неограниченная
криволинейная трапеция) имеет площадь S.
В противном случае говорить о площади указанной области
нельзя.