Сходимость несобственных интегралов первого рода от функций произвольного знака. Признак Больцано Коши. Лекция 2-13

1. Здравствуйте!

Лекция №13

2.

Сходимость несобственных интегралов первого рода от
функций произвольного знака.
Признак Больцано Коши
Для того, чтобы интеграл
f ( x)dx
сходился необходимо и
a
достаточно, чтобы выполнялось условие
0 A0 A A A0
A
f ( x)dx .
A

3.

Доказательство.
A
Снова рассмотрим функцию
F ( A) f ( x)dx . По признаку
a
Больцано Коши, для существования конечного предела lim F ( A)
A
необходимо и достаточно выполнение условия
0 A0 A A A0 F ( A ) F ( A ) .
Но в нашем случае
F ( A ) F ( A )
A
A
A
a
a
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
и поэтому признак Больцано Коши принимает форму, указанную в
формулировке теоремы.

4.

a
a
Следствие. Если сходится | f ( x ) | dx , то сходится и
f ( x)dx .
Доказательство.
По признаку Больцано Коши
| f ( x) | dx сходится 0
A0 A A A0
Но тогда
A
f ( x)dx | f ( x) | dx
A
| f ( x) | dx .
A
a
A
A
и мы получаем, что
A
0 A0 A A A0
A
f ( x)dx
,
A
откуда, по тому же самому признаку Больцано Коши следует, что
f ( x)dx
a
сходится.

5.

Определение. Если
| f ( x) | dx
сходится, то интеграл
a
называется
абсолютно
абсолютно). Если же
интеграл
f ( x)dx
f ( x)dx
a
сходящимся (или:
f ( x)dx
a
сходится, но
интеграл
сходится
| f ( x) | dx ,
то
a
называется неабсолютно сходящимся (или:
a
интеграл сходится не абсолютно).

6.

Вторая теорема о среднем. Пусть
1. функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] ;
2. функция g (x ) монотонна и ограничена на этом отрезке.
Тогда существует точка c [a, b], такая, что
b
c
b
a
a
c
f ( x) g ( x)dx g (a) f ( x)dx g (b) f ( x)dx .
Доказывать эту теорему мы не будем.

7.

Признак Дирихле.
Пусть
A
1. K A a
f ( x)dx K ;
a
2. при x функция g (x ) монотонно убывает до нуля (запись:
g (x) 0 ).
Тогда
f ( x) g ( x)dx сходится.
a

8.

Доказательство.
1. Из первого ограничения теоремы A , A a имеем
A
A
A
A
A
A
a
a
a
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 2 K .
2. Из второго ограничения теоремы имеем
g (x) 0 0 A0 x A0 0 g ( x)
3. Возьмем любые A A A0 . Тогда, используя вторую теорему
о среднем, получим
A
c
A
A
c
c
A
A
A
c
f ( x) g ( x)dx g ( A ) f ( x)dx g ( A ) f ( x)dx
| g ( A ) |
f ( x)dx | g ( A ) | f ( x)dx 2 K 2 K 4 K .
Так как сколь угодно мало, то, по признаку Больцано Коши,
f ( x) g ( x)dx сходится.
a

9.

Следствие. Если g ( x) 0 , то сходятся следующие интегралы:
a
a
g ( x) sin xdx (при любых значениях ) и g ( x) cos xdx (при 0)
Доказательство.
Пусть f ( x) sin x или f ( x) cos x . Тогда имеем
A
cos a cos A | cos a | | cos A | 2
,
a sin xdx
| |
| |
A
cos xdx
a
sin A sin a | sin A | | sin a | 2
,
| |
| |
если 0. Поэтому, по признаку Дирихле, при 0 интегралы
g ( x) cos xdx и g ( x) sin xdx сходятся. Последний
a
a
сходится и при = 0 (он просто равен нулю).
интеграл

10.

Пример неабсолютно сходящегося интеграла.
sin x
1
dx . Так как при x 0 , то
Таким интегралом является
x
x
1
этот интеграл сходится по признаку Дирихле.
| sin x |
dx .
Рассмотрим теперь
Из достаточно очевидного
x
1
неравенства
1 cos 2 x
2
| sin x | sin x
2
получаем
| sin x |
1 dx
cos 2 x
1 x dx 2 1 x 1 x dx ,
так как
dx
1 x (см. практический признак сходимости) и

11.

cos 2 x
1 x dx сходится по тому же признаку Дирихле. Поэтому
| sin x |
sin x
dx
и
1 x
1 x dx сходится неабсолютно.

12.

Признак Абеля.
Пусть
а) функции f (x) и g(x) определены на [a, + );
б) интеграл
f ( x)dx сходится (не обязательно абсолютно!);
a
в) функция g(x) монотонна и ограничена.
Тогда интеграл
f ( x) g ( x)dx сходится.
a

13.

Доказательство.
Имеем
A
1.
f ( x)dx сходится 0 A0 A A A0 f ( x)dx ;
A
a
2. функция g (x ) ограничена K x a | g ( x) | K .
3. В силу монотонности функции g (x ) можно снова воспользоваться
второй теоремой о среднем. Получаем, что для любых A A A0
A
c
A
A
A
c
f ( x) g ( x)dx g ( A ) f ( x)dx g ( A ) f ( x)dx
| g ( A ) |
c
A
A
c
f ( x)dx | g ( A ) | f ( x)dx K K 2 K ,
и, по признаку Больцано Коши,
f ( x) g ( x)dx сходится.
a

14.

Несобственные интегралы второго рода
Итак, в несобственных интегралах первого рода снимается
ограничение
конечности
промежутка
интегрирования.
В
несобственных интегралах второго рода снимается ограничение
ограниченности подынтегральной функции.
Будем называть с особой точкой функции f (x) если
lim | f ( x) | .
x c
А теперь рассмотрим определение несобственных интегралов
b
второго рода. Пусть речь идет об интеграле
f ( x)dx , но b является
a
особой точкой функции f (x) . Как поступить в этом случае?

15.

Основная идея заключается в том, чтобы немного отступить от
особой точки. Поэтому рассмотрим отрезок [a, b ] , где 0 b a .
Тогда на этом отрезке особых точек уже не будет. Будем считать,
b
что для этих значений существует интеграл
f ( x)dx .
Тогда
a
b
f ( x)dx естественно определить так:
a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx ,
a
0
a
который и называется несобственным интегралом второго рода. Если
b
этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл
f ( x)dx
a
сходится (или: интеграл существует); если этот предел равен
бесконечности или вообще не существует, то говорят, что интеграл
b
f ( x)dx расходится (или: интеграл не существует).
a

16.

Аналогично,
если
особой
точкой
является
левый
конец
b
промежутка интегрирования, то
f ( x)dx определяется так:
a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
0
a
Наконец,
если
особая
точка
a
с
лежит
внутри
промежутка
b
интегрирования, то есть a c b , то
c 1
b
f ( x)dx определяется так:
a
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx .
a
1 0
a
2 0
c 2
Если F (x ) есть первообразная функции f (x) , то в этом случае
b
f ( x)dx F (c 0) F (a) F (b) F (c 0) .
a