Основные законы распределения случайных величин. Законы распределения дискретных случайных величин

1. §3.6. Основные законы распределения случайных величин   §3.6.1.Законы распределения дискретных случайных величин  

§3.6. Основные законы
распределения случайных величин
§3.6.1.Законы распределения
дискретных случайных величин
§3.6.1.1.Биномиальное
распределение

2.

Дискретная СВ Х, принимающая
неотрицательные целочисленные значения, 0,1,2,…, n называется распределенной по
биномиальному закону, если она принимает
указанное значение m с вероятностью
Pm,n=P(X=m)=
m m n m
Сn p q
По схеме Бернулли СВ Х есть число появлений
события А ровно m раз в серии n опытов.

3.

Вероятность появления события А равна р, а
непоявления q=(1-p).
ФР F(x) биномиального закона
распределения (БЗР) СВ Х имеет вид

4.

Для вычисления числовых характеристик
этого распределения нам потребуется два
вспомогательных равенства:
m p m qn m np
mС
n
n
m 0
n
2 m m n m
2 2
m Сn p q npq n p
m 0

5.

Определим числовые характеристики БЗР.
Принимая во внимание первое
вспомогательное равенство определим МО:
n
m m n m
np
M[X]=mx= mСn p q
m 0

6.

С учетом второго вспомогательного равенства
определим дисперсию:
D[X]= 2[X] - mx =
2С m p m qn m n 2 p 2 npq n 2 p 2 n 2 p 2 npq
m
n
n
=
m 0
Величины n, p называются параметрами
распределения.

7.

Пример: Устройство состоит из трех
независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каждого элемента в
одном опыте равна 0,1. Составить закон
распределения числа отказавших
элементов в одном опыте.
Решение: Х - число отказавших элементов в
одном опыте; х1 = 0 (ни один из элементов
не отказал); х2 = 1 (отказал один элемент);
х3 = 2 (отказали два элемента); х4 = 3
(отказали три элемента); n = 3; р = 0,1,
следовательно, q = 1 - 0,1 = 0,9

8.

Р3,0 = q3 = 0,93 = 0,729;
Р3,1 = С13 р q2 =3 0,1 0,92 = 0,243;
Р3,2 = С23 р2 q = 3 0,12 0,9 = 0,027;
Р3,3 = р3 = 0,13 = 0,001.
Контроль: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.
Искомый биномиальный закон
распределения Х:
X
0
1
2
3
p
0,729
0,243
0,027
0,001

9. §3.6.1.2. Распределение Пуассона

Теорема Пуассона. Если р 0 при n , а
np= , =const, то СВ может принимать целые
неотрицательные значения с вероятностями
Pm ,n
m
e
m!

10.

Для доказательства теоремы воспользуемся
формулой Бернулли. Т.к. np= , p= /n и р 0
при n , то
Pm,n P ( X m )
C m p m qn m
n
lim
n
m
n m
n!
lim
1
n
n ( n m )! m! n
m e
m!

11.

Использовались соотношения:
n!
n( n 1 )...( n m 1 )
m!
( n m )! m!
1
lim
n
n
n
exp( )

12.

Т.о., дискретная СВ, принимающая целые
неотрицательные значения 0, 1, 2,…, m с
вероятностью
Pm ,n
m
e
m!
называется распределенной по закону
Пуассона.

13.

Ряд распределения этой СВ имеет вид:
X
0
1
2
…
m
P
m
2
0
1
exp( ) exp( )
exp( )
exp( ) …
0!
1!
m!
2!
Используя соотношение,
m
exp( )
m 0 m!
получим, что

14.

m
exp( ) exp( ) exp( )
P( X m)
m 0
m 0 m!
Числовые характеристики этого закона:
M[X]=
m
2
exp( ) exp( ) exp( )
m
m!
m 0
и покажем, что дисперсия распределения
Пуассона тоже равна .

15.

Принимая во внимание, что
D[X]= 2[X] – (M[X])2, вычислим сначала
второй начальный момент:
m
1
2 m
2[X]= m
exp( ) m
exp( )
m!
m 0
m 1 0 ( m 1 )!
( 1)

16.

Т.о., D[X]= 2[X] – (M[X])2 = ( +1)- 2= .
Величина называется параметром
распределения.
Вид распределения Пуассона
изменяется при различных значениях
параметра распределения . При
малых значениях наблюдается
асимметрия закона распределения. С
ростом имеется тенденция к
симметрии.

17.

Пример: Учебник издан тиражом 100000
экземпляров. Вероятность того, что учебник
сброшюрован неправильно, равна 0,0001.
Найти вероятность того, что тираж содержит
ровно пять бракованных книг.
Решение: n=100000, p=0,0001, m=5.
me
Pm, n
m!
Определим :
=np=100000 0,0001=10
Искомая вероятность
P100000(5)=105e-10/5!=0,0378

18. §3.6.2.Основные законы распределения непрерывных случайных величин   §3.6.2.1. Равномерное распределение  

§3.6.2.Основные законы
распределения непрерывных
случайных величин
§3.6.2.1. Равномерное
распределение

19.

Непрерывная СВ называется равномерно
распределенной на интервале [a, b], если
плотность ее распределения имеет
постоянное значение С.
0 , x a ,
р(х)= C , a x b ,
0 , x b.
Определим C=const из условия нормировки
p ( x )dx 1

20.

Т.е.
b
p( x )dx 0 dx Cdx 0 dx Cx a 1
a
b
a
Отсюда С=1/(b-a).
b

21.

Определим функцию распределения F(x) по
формуле
x
a
x 1
x a
F ( x ) p ( y )dy 0dx
dy
b a
b a
a
Отсюда следует:
0 , x a ,
x a
F( x )
, a x b,
b a
1, x b.

22.

Определим числовые характеристики
распределения M[X], D[X]:
b
1
x2
b
b2 a2
M [ X ] xp( x )dx x
dx
b a
2( b a )
2( b a )
a
a
Отсюда следует, что МО совпадает с
медианой. Определим дисперсию по
формуле
D[X]= 2[X]–(M[X])2
b a
2

23.

b
2
2
2
b 2 1
b a
2[ X ] x p( x)dx x
dx
3(b a)
3(b a)
a b a
a
(b a)(b 2 ba a 2 ) (b 2 ba a 2 )
3(b a)
3
3
x
Тогда
(b2 ba a 2 ) (b a )2 4b2 4ba 4a 2 3b2 6ba 3a 2
D[ X ]
3
4
12
b2 2ba a 2 (b a )2
12
12

24.

Стандартное отклонение определяется по
формуле:
b a
D[ X ]
2 3
Равномерное распределение используется в
технических приложениях, когда информация
о характеристиках распределения мала.

25.

Пример: Цена деления шкалы амперметра равна
0,1А. Показания округляют до ближайшего
целого деления. Найти вероятность того, что при
отсчете будет сделана ошибка, превышающая
0,02А.
Решение: Ошибка округления отсчета можно
рассматривать как случайную величину Х,
которая распределена равномерно в
интервале между двумя соседними целыми
делениями. Плотность равномерного
распределения (х)=1/(b-a), где (b-a) – длина
интервала, в котором заключены возможные
значения Х; вне этого интервала (х)=0.

26.

В рассматриваемой задаче длина интервала, в
котором заключены все возможные значения
Х, равна 0,1, т.е. (b-a)=0,1, поэтому
(х)=1/0,1=10.
Из условия задачи ясно, что ошибка отсчета
превысит 0,02, если она будет заключена в
интервале (0,02; 0,08). По формуле
b
P(a<X<b)= ( x)dx
a
0,08
получим
P(0,02<X<0,08)= 10dx =0,6
0,02