Виды распределения дискретных случайных величин. Закон больших чисел (для детей)

1. Виды распределения дискретных случайных величин

10.3.2.16 распознавать виды
распределения дискретных
случайных величин: биномиальное
распределение

2.

Трансформация данных
Какие бывают распределения:
1. Равномерное (uniform)
2. Случайное (random)
Могут быть и дискретными, и непрерывными

3.

Трансформация данных
3. Биномиальное распределение
(дискретное).
Пример: рассмотрим выводки из 6 детёнышей
каждый.
Возможное соотношение самцов и самок в выводке:
6:0; 5:1; 4:2; 3:3; 2:4; 1:5; 0:6

4.

Трансформация данных
Биномиальное распределение
Вероятность такого
выводка
распределение количества «успехов» (самцов) в
последовательности из N независимых случайных
экспериментов, таких что вероятность «успеха»
(рождения самца) в каждом из них постоянна и равна p.
Количество самцов в
выводке из 6 зверьков

5. Биномиальное распределение

О случайной величине — числе «успехов» в n испытаниях
Бернулли — говорят, что она имеет биномиальное
распределение с параметрами n и p и обозначают
Х∼B(n,p)

6. При решении примера 1 (о трех выстрелах срелка) мы фактически находим закон распределения случайной величины X — числа

Пример 1. Стрелок производит три независимых
выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что стрелок
ровно два раза попадет в цель.
При решении примера 1 (о трех выстрелах срелка) мы
фактически находим закон распределения случайной
величины
X — числа попаданий при трех выстрелах:
То есть Х имеет биномиальное распределение с параметрами
n=3 и p=0,9 или Х∼B(3,0.9)
xi
0
1
2
3
pi
0,001
0,027
0,243
0,729

7.

8.

Пример 3. Составьте ряд распределения
величины, распределенной по
биномиальному закону с параметрами n=4,
1
p= .
3

9.

Производится серия из n=4 опытов. Случайная
величина Х - число опытов, в которых может
произойти событие А, может принимать
значения 0, 1, 2, 3, 4.
Соответствующие
вероятности
находятся
по
формуле Бернулли при n=4, p=1/3, q=1-1/3=2/3.
m
1
p ( X m) C
3
Вероятность того, что событие
ни в одном опыте (m=0):
m
4
0
4 m
2
3
А не произойдет
4
16
1 2
p ( X 0) C
81
3 3
0
4

10.

Вероятность того, что событие А произойдет
в одном опыте (m=1):
1
3
32
2
1 1
p ( X 1) C4
81
3 3
Аналогично находим вероятности того, что это
событие произойдет в двух (m=2), в трех
(m=3) и в четырех (m=4) опытах:
2
2
24
1 2
p ( X 2) C
81
3 3
2
4
3
1
8
1 2
p ( X 3) C
81
3 3
3
4
4
0
1
1 2
p ( X 4) C44
81
3 3

11.

Таким образом, ряд распределения случайной
величины Х будет выглядеть так:
Хm
0
1
2
3
4
Pm
16/81
32/81
24/81
8/81
1/81
Можно убедиться, что суммарная вероятность
действительно равна 1.

12.

Найдем математическое ожидание случайной
величины,
распределенной
по
биномиальному закону.
Х - число опытов в серии из n, в которых
произошло событие А.
Введем для каждого i=1,2…n случайную
величину Zi .
Пусть Zi принимает всего два значения: 1 - если
событие А произойдет в i-ом опыте и 0 - если
событие А не произойдет в i-ом опыте.
Тогда событие Х выразится через сумму событий
Zi :
Х= Z1 +Z2 +…+Zn

13.

Тогда математическое ожидание случайной
величины Х:
M[X]=M[Z1]+M[Z2]+…+M[Zn]
Найдем математическое ожидание Zi
Ряд распределения Zi имеет вид:
Zi
0
1
Pi
q
p
Тогда M[Zi ]=p и M[X]=np.

14.

Найдем дисперсию случайной величины Zi
D[ Z i ] (0 p) q (1 p) p pq
2
Так
как
случайные
независимы, то
2
величины
Zi
D[ X ] D[ Z1 ] D[ Z 2 ] ... D[ Z n ]
n D[ Z n ] n p q

15.

Таким образом, для случайной величины,
распределенной по биномиальному закону
M[X ] n p
D[ X ] n p q