Закон больших чисел

1.

Закон больших чисел
Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины X с
математическим ожиданием mX и дисперсией DX выполняют следующее
неравенство:
p ( X mX )
DX
(12.1)
2
где ε > 0.
Доказательство. Рассмотрим вероятность
p( X )
x2 2
x2
1
p( X ) f ( x)dx 2 2 f ( x)dx 2 f ( x)dx 2 x 2 f ( x)dx
x
x
x
x
x
1
M[X 2]
2
2 x f ( x)dx
.
2

2.

Таким образом,
p( X )
M[X 2]
2
Заменив нецентрированную величину X на центрированную X X mX
получим
p ( X mX )
M [( X mX ) 2 ]
2
DX
2
Пример. Определим вероятность, что случайная величина примет значение
за пределами интервала 3σX. Полагаем в неравенстве Чебышева 3 X
имеем:
DX
1
p ( X mX 3 X )
2
9 X 9

3.

Теорема Чебышева.
p
1 n
X i mX
n
n i 1
Доказательство. Рассмотрим величину
1 n
Y
Xi
n i 1
Определим числовые характеристики Y (см. (11.5), (11.7)):
1 n
1 n
1
mY M [ X i ] M [ X i ] nmX mX ;
n i 1
n i 1
n
1 n
1 n
1
DX
DY D[ X i ] 2 D[ X i ] 2 nDX
.
n i 1
n i 1
n
n
(12.2)

4.

Запишем неравенство Чебышева для величины Y:
1 n
DY DY
p( Y mY ) p( X i mX ) 2 2 .
n i 1
n
1 n
p( X i mX ) . Переходя к противоположному событию
n i 1
1 n
p ( X i mX ) 1
n i 1
Теорема Бернулли.
т.е. Y сходится по вероятности к mX.
p
p ( A) p( A)
*
n
(12.3)

5.

где
p* ( A )
m
n
- частота события А в n опытах;
m - число опытов в которых произошло событие А;
n - число проведенных опытов.
Пусть случайная величина X – индикатор события А:
1 , A
X
0 , A
тогда Xi – индикатор события А в i-м опыте.
Числовые характеристики индикатора X случайного события (см. (6.1)):
mX p, DX qp
где q = 1 - p - вероятность осуществления А.
Применим теорему Чебышева:
p
1 n
m
*
Xi
p ( A) mX p p ( A)
n
n i 1
n

6.

Центральная предельная теорема
mY n m, Y n
(12.4)
Доказательство.
Согласно свойству (7.16) характеристическая функция суммы равна
произведению характеристических функций слагаемых:
Y (t ) X (t )
n
(12.5)

7.

Разложим функцию X (t ) в окрестности точки t= 0 в ряд Маклорена
с тремя членами:
X (t ) X (0) X (0)t [ X (0) / 2 (t )]t 2
(12.6)
где производные берутся по t; (t ) 0 при t 0.
Используя свойство (7.15) характеристических функций определим
значения
X (0) X(0) (0) 0 ( x)i 0 1
X (0) X(1) (0) 1 ( x)i1 m i 0
X (0) X(2) (0) 2 ( x)i 2 2 i 2 2
Подставив их в (12.5) получим
X (t ) 1 [ 2 / 2 (t )]t 2
(12.7)

8.

Найдем характеристическую функцию случайной величины Z. Из
свойства (7.14) характеристической функции имеем:
Z (t ) Y (
t
n
)
(12.8)
Подставив (12.5) и (12.7) в (12.8) получим
2
2
Z (t ) 1 (t / n ) t /(n )
2
2
n
(12.9)
Прологарифмируем это выражение:
2
2
2
ln Z (t ) n ln 1 (t / n ) t /(n )
2
2
Введем обозначение (t / n ) t 2 /(n 2 ) ,тогда
2
ln Z (t ) n ln(1 )

9.

Тогда
t2
2
2
lim ln Z (t ) lim n ( ) lim (t / n )t /
n
n
n
2
2
t2
t
lim (t / n )t 2 / 2 .
2 n
2
Теорема.
n
mY mi , Y
i 1
n
D
i 1
i
(12.10)

10.

Пример 1.
12
Y ( x i 6) m
(12.11)
i 1
Пример 2.
0 np 3 npq , np 3 npq n
(12.12)

11.

Пусть Xi – индикатор события А в i-м опыте, тогда число появлений событий А в n
n
опытах равно Y
X , причем 0 Y n.
i 1
i
На основании центральной предельной теоремы величина Y будет иметь
практически нормальный закон распределения с параметрами
n
mY mi np, Y
i 1
n
D npq .
i 1
i