Понятие о законе больших чисел

1.

Понятие о законе больших
чисел

2.

Мы знаем, что если мы подбросим монетку
(например, 5 рублей), то вероятность
выпадения решки будет равна 1/2.
А если, к примеру, мы подбросим игральный
кубик, то вероятность выпадения нужной нам
грани будет равна 1/6.
В данных случаях, указанных в примерах,
вероятность мы определили быстро и легко, так
как и монетка, и игральная кость являются
симметричными

3.

Пример:
Когда покупатели и клиенты обращаются за какой-либо
услугой, их интересует качество оказываемой услуги или
же долговечность и качество приобретаемого товара.
Школьник решил купить новый гаджет, и его интересует
вероятность того, что устройство прослужит ему
долго.
В указанных примерах уже используют другой метод: оценку
вероятности с помощью частоты (оценку по выборке).
Данный способ строится на законе больших чисел и
относится к косвенным способам измерения вероятностей.
При многочисленном повторе одного и
того же опыта частоты событий в этом
опыте будут близки к вероятностям.

4.

Мы уже знаем, что при многочисленном повторе одного и
того же опыта частоты событий в этом опыте будут близки
к вероятностям.
Разберёмся, почему именно так и почему это утверждение
истинно.
Все проводимые последовательные опыты мы можем
рассмотреть как серию испытаний Бернулли.
Допустим: всего испытаний n.
Неизвестная вероятность нужного нам события
(успешного для нас исхода) пусть будет p.
Измеренная частота успеха составит F.

5.

Из пройденных ранее тем вспомним, что с
возрастанием n среднее значение частоты будет
равняться p.
При этом стандартное отклонение частоты будет
уменьшаться и стремиться к 0:
Из всего вышесказанного мы заключаем: при
больших значениях n частота изучаемого нами
события F мало будет отличаться от его
вероятности p.

6.

Оценку вероятности можно произвести при
помощи неравенства Маркова.
Неравенство используется, когда никаких данных о
распределении нет. Стоит отметить, что оценка данным
способом считается грубой, хоть и даёт некоторую
информацию.
Рассмотрим подробнее.
Пусть X — случайная величина, которая принимает
неотрицательные значения; M(X) — конечное
математическое ожидание случайной величины. Для
любых A≻0 выполняется неравенство:

7.

Пример:
Небольшой магазинчик на первом этаже
многоэтажного дома за день в среднем
посещают 100 покупателей. Определи вероятность
того, что в течение следующего дня количество
посетителей превысит 200.
Решение
Подставляем числовые значения в неравенство и
получаем:
Т. е. вероятность того, что магазин
посетят 200 покупателей, составляет не более 0,5.

8.

Бывают случаи, когда случайная величина меньше
некоторой константы, тогда стоит воспользоваться
альтернативной формой записи неравенства:

9.

Пример:
небольшой магазинчик на первом этаже
многоэтажного дома за день в среднем
посещают 200 покупателей. Определи вероятность
того, что в течение следующего дня количество
посетителей будет не более 250.
Решение
Подставляем числовые значения в неравенство и
получаем:
Т. е. вероятность того, что магазин посетят не
более 250 покупателей, будет не менее 0,2.

10.

Бывают случаи, когда для случайной величины известны
и конечны и математическое ожидание, и дисперсия. В
подобных случаях применяется неравенство
Чебышева (данное неравенство является следствием
неравенства Маркова):
Как и неравенство Маркова, неравенство Чебышева
можно записать в другом виде:

11.

Пример:
Проводились испытания Бернули. Всего
проведено 2000 испытаний. Вероятность успеха в каждом из
испытаний составила 0,5. Воспользовавшись неравенством
Чебышева, оцени вероятность того, что разница между числом
успехов и средним числом успехов составила меньше 100.
Решение
Так как число успехов распределяется в нашем примере по закону
Бернулли, рассчитываем среднее число
успехов: M(X)=n⋅p=2000⋅0,5=1000.
После этого подсчитываем
дисперсию: D(X)=n⋅p⋅(1−p)=2000⋅0,5⋅(1−0,5)=500.
Подставляем все данные в неравенство Чебышева и получаем:
Т. е. вероятность составляет не меньше 0,95.

12.

Задание № 1
Диспетчер скорой помощи за час
приняла 130 звонков. Определи вероятность
того, что в течение следующего часа число
звонков превысит 195.
(Ответ округли до сотых.)

13.

Задание № 2
В городе N средняя температура воздуха в августе
составляет 22°C.
Оцени вероятность того, что в этом же месяце
следующего года температура будет не
более 39°C.
(Ответ округли до сотых.)

14.

Задание № 3
Михаил купил новый мотоцикл. При покупке
страховой агент рассчитал, что вероятность угона этого
мотоцикла, стоимость которого равна 500000 рублей, в
этом календарном году составляет 4 %.
Какую сумму страхового платежа должна назначить
страховая компания, чтобы избежать убытков?
Михаилу в случае угона компенсируется полная
стоимость мотоцикла.
Считай, что продано 500 мотоциклов.

15.

Задание № 4
Кристина увлеклась алмазной вышивкой.
Количество стразов, которое девочка приклеила
за первые полчаса работы, равно 280.
Определи вероятность того, что за
следующие 30 минут Кристина приклеит не
больше 370 стразов.
(Ответ округли до сотых.)

16.

Задание № 5
Петя с друзьями по субботам собираются и
играют в настольные игры.
Определи вероятность того, что при 6 Петиных
подбрасываниях игральной кости только 1 раз
выпадет 6.
(Ответ вырази в процентах.)

17.

Задание № 6
Мария решила прогуляться тёплым вечером после
учёбы.
Определи вероятность того, что во время прогулки
девушка встретит кого-то из знакомых.
Предположим.
1. Население в городе Марии составляет 1 млн чел.;
2. Знакомых, проживающих в этом городе, у
девушки 580 чел.;
3. За время прогулки девушка встретила 880 чел.

18.

Задание № 7
В многоквартирном доме количество расходуемой
за сутки воды является случайной величиной.
Математическое ожидание суточного расхода
воды равно 7 кубов, а среднее квадратическое
отклонение составляет 1,9 куба.
Оцени вероятность того, что в ближайшие сутки
расход воды окажется более 11 кубов.
(Ответ округли до сотых.)

19.

Домашнее задание-1
Диспетчер скорой помощи за час
приняла 110 звонков. Определи вероятность
того, что в течение следующего часа число
звонков превысит 143.
(Ответ округли до сотых.)

20.

Домашнее задание-2
В городе N средняя температура воздуха в августе
составляет 26°C.
Оцени вероятность того, что в этом же месяце
следующего года температура будет не
более 31°C.
(Ответ округли до сотых.)

21.

Домашнее задание-3
Петя с друзьями по субботам собираются и
играют в настольные игры.
Определи вероятность того, что при 5 Петиных
подбрасываниях игральной кости только 1 раз
выпадет 1.
(Ответ вырази в процентах.)