Случайные величины. Распределения случайных величин

1. Случайные величины. Распределения случайных величин

Тишков Артем Валерьевич, к.ф.-м.н., доцент
Микрюкова Надежда Николаевна

2. Случайная величина

Случайная величина – это
числовая переменная, которая принимает свои значения в
зависимости от случайных обстоятельств.
функция, действующая из вероятностного пространства
(множество событий) в множество вещественных чисел.
.Дискретная (точечная) СВ принимает отдельные
числовые значения (число студентов в аудитории, игральная
кость: 1,2,3,4,5,6)
Непрерывная случайная величина принимает любые
значения из некоторого интервала (масса тела, рост
студентов), возможно бесконечного.
2

3. Случайная величина

Случайные величины будем обозначать заглавными
последними буквами латинского алфавита:X,Y,Z…,а их
возможные значения прописными буквами: X {x1, x2, …,xn},
Y {y1, y2, …,ym}
Любое правило, которое устанавливает связь между
возможными значениями случайной величины и
вероятностями, с которыми она эти значения принимает,
называется законом распределения случайной
величины.
Закон распределения СВ можно задавать в виде: 1)
таблицы, 2) графика, 3) Функции распределения.
3

4. Закон распределения случайной величины

Любое правило, которое устанавливает связь между
возможными значениями случайной величины и
вероятностями, с которыми она эти значения принимает,
называется законом распределения случайной
величины.
Закон распределения случайной величины можно
задавать в виде:
1) Таблицы
2) Графика
3) Функции распределения.
4

5. Дискретная СВ. Таблица распределения

Ряд распределения(может быть конечным или
бесконечным)
X
P(x)
x1
P(x1)
x2
P(x2)
…
…
…
xn
P(xn)
Так как события X=x1, X=x2…. попарно несовместны и составляют
полную группу событий, следовательно
5

6. Дискретная СВ. График распределения

График: многоугольник распределения.
6

7. Дискретная СВ. Функция распределения

Функция распределения F(x0)– это вероятность того, что
случайная величина X принимает значения меньшие или
равные x0.
7

8.

1). F(x) неубывающая:
F(x2)≥F(x1) если x2≥x1
2).F(-∞)=0;
F(+∞)=1
8

9. Пример

X
P(x)
F(x)
2
0,1
0,1
4
0,2
0,3
6
0,4
0,7
8
0,2
0,9
10
0,1
1
9

10. Непрерывная случайная величина

Таблица: Интервальный ряд распределения.
X
Δx1
Δx2
P(Δx) P(Δx1) P(Δx2)
Δxk
P(Δxk)
График: Гистограмма.
10

11. Непрерывная случайная величина

Функция распределения
11

12. Непрерывная случайная величина

Функция плотности распределения f(x): (только для
непрерывной случайной величины).
12

13. Функция плотности распределения

f(x) неотрицательная функция (f(x)≥0)
Вероятность попадания в элементарный
интервал dx=(x+Δx)-x равна f(x)dx=dP.
13

14. Функция плотности распределения

Вероятность попадания случайной величины в
интервал [a,b]:
Условие нормировки:
14

15. Числовые характеристики (параметры) случайной величины

1) Математическое ожидание
2) Дисперсия (рассеивание)
3) Средне-квадратическое или стандартное
отклонение
15

16. Математическое ожидание

Дискретная случайная
величина
Непрерывная случайная
величина
- числа
16

17. Дисперсия (рассеивание)

это математическое ожидание (среднее значение)
квадрата отклонения случайной величины X от её
математического ожидания.
Если X и Y независимые случайные величины, то
Непрерывная случайная
величина:
17

18. Равномерное или прямоугольное распределение

Случайная величина называется равномерно
распределённой на интервале [c,d], если
функция плотности распределения её на этом
интервале постоянна, а вне него равна нулю
const , если c x d
f x
если x c, x d
0
18

19. Стандартное отклонение

Средне-квадратическое или стандартное отклонение:
19

20. Равномерное распределение. Чему равна константа

Из условия нормировки
f x dx 1
получаем:
d
d
d
d
c
c
c
c
f x dx const dx const dx const x const d c 1
1
const
d c
20

21. Равномерное распределение. Вероятность попадания в интервал

b
1
1
b a
P a x b
dx
x
d с
d с a d с
a
b
f(x)
Каждое значение на отрезке [a;b]
случайная величина принимает с
одинаковой вероятностью.
c
a
b
d
x
21

22. Нормальное распределение или распределение Гаусса

Случайная величина распределена по
нормальному закону, если функция плотности
её распределения имеет вид:
f x
1
2
x a
2
e
2 2
где а,σ – параметры распределения.
22

23. Нормальное распределение. График плотности распределения

Кривая симметрична
относительно прямой х=а
f(x)
f max x
Pd=0,68
Pd=0,954
1
2
достигается в этой же
точке х=а
Pd=0,9972
X
a-3σ
a-2σ
a-σ
a
a+σ
a+2σ
a+3σ
На графике представлены вероятности попадания в
интервалы среднее значение плюс-минус одна, две и
три сигмы
23

24. Нормальное распределение. Примеры графиков плотности распределения

Графики плотности распределения с
разными значениями параметра а.
(σ=1)
0,45
f(x)
0,45
0,4
0,35
a3=0
Графики плотности распределения с
разными значениями параметра σ .
(σ₁<σ₂<σ₃ , a=1)
a1=2
0,3
a₁=2
0,4
a₂=1
0,35
a₃=0
0,3
0,25
0,25
0,2
0,2
0,15
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
σ₂=1,5
σ₂=1,5
σ₃=2
σ₃=2
0,1
0,05
-4
σ₁=1
0,15
a2=1
0,1
σ₁=1
f(x)
0,05
X
X
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
24

25. Нормальное распределение. Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание н.р. равно a:
x a 2
1
2 2 dx a
M X x f x dx
x
e
2
Дисперсия н.р. равна σ2:
D x
x M x
2
f x dx
1
2
x
a
e
x a 2
2
2
2
Величину σ называют среднеквадратичным
отклонением:
dx 2
25

26. Нормальное распределение. Нормированная случайная величина

Введем замену переменной t
x a
x M X
X
t – безразмерная случайная величина. Важные
свойства:
М[t]=0
D[t]=1
σ[t] =1
Так как 99,7% всех значений случайной величины Х
отличаются от М[Х] не больше, чем на 3·σ[Х], следовательно
для любого значения x получим:
с вероятностью Р=0,997.
26

27. Нормальное распределение. Нормальная функция распределения

Функция распределения н.р.
F x P X x
x
f x dx
1
2
Введем замену переменной
1
2
t
e
t 2
2
x
t
e
2
2
dx
x a
x M X
dt t
X
x a 2
x M X
X
dt
1
dx
Ф(t) называется
функцией Гаусса или
нормальной функцией
распределения
27

28.

Значения функции Ф(t) для 0 ≤ t ≤ 3
t
Ф(t)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,5
0,539828
0,57926
0,617911
0,655422
0,691462
0,725747
0,758036
0,788145
0,81594
0,841345
t
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
Ф(t)
0,864334
0,88493
0,9032
0,919243
0,933193
0,945201
0,955435
0,96407
0,971283
0,97725
0,982136
t
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
Ф(t)
0,986097
0,989276
0,991802
0,99379
0,995339
0,996533
0,997445
0,998134
0,99865
0,999032
0,999313
0 0,5; 0; 1; t 1 t
28

29. Вероятность попадания значений н.р. случайной величины в интервал

Интервал [a;b]
Правило трёх сигм:
29

30.

Биномиальное распределение
30

31.

B (n, p)
Обозначение
n 0
Параметры
— число «испытаний»
0 p 1- вероятность
«успеха»
k
Носитель
Функция плотности распределения
Функция распределения
Математическое ожидание
Дисперсия
n
k
{0,…, n}
k n k
p q
I1 p (n - [k], 1+ [k])
np
npq
31

32.

Распределение Пуассона
32

33.

Обозначение
P ( )
Параметры
( 0,
Носитель
k {1,2,…}
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Дисперсия
)
e k
k!
Г (k 1, )
k!
33

34.

Распределение Гаусса
34

35.

обозначение
Параметры
N(
, 2 )
- коэффициент сдвига(вещественное число)
>0 - коэффициент масштаба(вещественный,
строго положительный)
Носитель
Плотность
вероятности
x ; )
( x )2
1
exp
2
2
2
Функция
распределения
Математическое
ожидание
Дисперсия
2
35

36.

Распределение Стьюдента
36

37.

Обозначение
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
t (n)
n>0 — число степеней свободы
x ; )
Г ((n 1) / 2)
n Г (n / 2)(1 x 2 / n)( n 1)/2
1 xГ ((n 1) / 2)
2
nГ (n / 2)
1
3 x2
)
2 F1 ( , ( n 1) / 2; ;
2
2
n
nГ (n / 2)
где 2 F1
функция
— гипергеометрическая
37

38.

Математическое ожидание
Дисперсия
0, если n>1
n
n 2
, если n>2
38