Непрерывные случайные числа. (Лекция 3)

1. ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии (МИИГАиК)
ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Курс лекций
Голубев В.В.

2. Понятие непрерывной случайной величины

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная
величина, множество значений которой более чем счетно.
Например, множество всех значений на отрезке [0,1].
0
1
Каждой точке на отрезке [0,1] соответствует точка на оси абсцисс, и
наоборот любой точке оси абсцисс соответствует конкретная точка на
отрезке [0,1] . Таким образом устанавливается взаимнооднозначное
соответствие. Т.е. мощности множеств отрезка [0,1] и оси абсцисс
эквивалентны.

3. Формы задания закона распределения непрерывной случайной величины

Для непрерывной величины нельзя записать ряд и построить
многоугольник распределения, т.к. невозможно перечислить все значения
такой случайной величины.
x
x
Но можно задать функцию распределения. F( ) = P(X< )
x
x
1
x
X
2
x
Рассмотрим предел lim Р( 1 ≤Х< 2)
x2 →x1
Если случайная величина непрерывна, то
lim Р(
x2 →x1
x ≤Х< x )= lim ( F(x ) – F(x )) = F(x ) – F(x )=0
1
2
x2 →x1
2
1
1
1
Вывод: для непрерывной случайной величины вероятность
попадания в точку будет стремиться к нулю.

4. Свойства функции распределения для непрерывной случайной величины.

x
x
FX( )=P(X< )
x
X
Функция распределения имеет следующие свойства:
1.
FX ( ) lim P( X x) 0
Вероятность попасть в
заштрихованную область
x
при
x
x
Будет
стремиться
к нулю
X
Если Х [A,B], то F(А)= 0
P(X< А)=0
А
x
В
X

5. Свойства функции распределения.

x
x
FX( )=P(X< )
2.
FX ( ) lim P( X x) 1
x
X
Вероятность попасть в
заштрихованную область
Будет
при
стремиться
P(X< В)=1, т.к. вероятность попасть в точку, для непрерывной
к единице
случайной величины равна нулю.
x
x
А
x
Если Х [A,B], то F(В)= 1
В
X

6. Свойства функции распределения.

3.
При
x >x
2
F(
1
x
x )≤ F(x )
1
x
FX( )=P(X< )
2
Функция распределения является неубывающей функцией.
F(
x)
1
x
F(x2)
x
1
X
2
F(
x )=P(X<x )
F(
1
1
x )≤ F(x )
1
2
F(
x )=P(X<x )
2
2

7. Вероятность попадания в интервал

Пусть
F(
x >x
2
x)
1
1
, тогда
P(
x
1
≤X<
x )= F(x ) - F(x )
2
2
1
F(x2)
x
1
X
x
2
x
P(
1
≤X<
x )= P(x
2
1
<X <
x )= P(x
2
1
≤X≤
x ) = F (x ) - F (x )
2
2
1

8. Плотность распределения

Плотность распределения – это производная от функции распределения.
φ(х) = lim F(х+∆х) - F(х) = F’(х)
∆х→0
∆х
х
Обратная связь: F( х) = ∫ φ(z)dz,
-∞
F( х) – представляет собой вероятность попадания на отрезок (-∞, х)
Действительно,
х
F( х) = ∫ φ(z)dz= F( х) - F(- ∞)= Р (- ∞< х < х)
-∞

9. Свойства плотности распределения

1. φ(х) ≥ 0, т.к. производная от неубывающей функции не может быть
отрицательной.
Действительно, +∞
+∞
2.
∫ φ(z)dz= F(+∞ ) - F(- ∞)= 1-0=1
∫ φ(z)dz = 1.
-∞
-∞
Площадь под кривой плотности всегда равна единице.
φ(х)
Х

10. Вероятность попадания в интервал

Пусть Х є [A,B] и задана плотность распределения, график которой
приведен ниже.
φ(х)
A
X1
X2
B
X
Заштрихованная площадь равна
x2
P ( z )d z F ( x2 ) F ( x1 ) P( x2 X x1 )
x1

11. Элемент вероятности

Пусть Х є [A,B]
φ(х)
A
х+dх
∫ φ(z)dz
x dx
B
= F( х+dх) - F(х)= Р (х < X< х + dх )
х
Поскольку d
x – бесконечно малый отрезок, то φ(x )dx –
F( х+dх) - F(х)= Р (х < X< х + dх ) есть вероятность
попадания на бесконечно малый отрезок.
x )dx
φ(
- называют элементом вероятности.
Х

12. Элемент вероятности

φ(
x )dx
- называют элементом вероятности. Это
вероятность попадания на бесконечно малый отрезок
dx.
В связи с этим данное понятие имеет важное значение.
Понятие вероятности попасть в точку (для дискретных случайных
величин) заменяется на элемент вероятности (для непрерывных
случайных величин).
φ(x)dx
Вероятность попадания на
бесконечно малый отрезок
Для непрерывных
случайных величин
~
Рi
Вероятность попадания
в точку.
Для дискретных
случайных величин

13. Примеры

Пример1. Пусть функция распределения случайной величины задана
кусочно:
0
при х≤А
х²
F(х) =
2
при А<х<В
1
при х≥В
Требуется:
1. Определить значения А и В.
2. Построить график F(х).
3. Определить вероятность попадания в некоторый интервал
4. Определить φ(х)
5. Построить график φ(х)
Решение: 1. X [A,B]
2. X
[A,B]
F(B)=1
A2
A 0
F(A)=0
0
2
2
В
1 В 2
2

14. Примеры

0
График функции распределения.
2
x
F(X)=
2
F(X)
1
При Х≤0
При 0 < Х < √¯ 2
При Х ≥ √¯2
1
0
√¯2
X

15. Примеры

0
3. Вероятность попадания на отрезок.
2
x
F(X)=
2
1
При Х≤0
При 0 < Х < √¯2
При Х ≥ √¯2
Определим вероятность попадания на отрезок Р(0.1 < Х < 1)
2
Р(0.1 < Х < 1) = F(1) - F(0.1) = 1/2-0.1 /2=0.5-0.005 = 0.495
Определим вероятность попадания на отрезок Р( -5 < Х < 0.5)
2
Р(-5 < Х < 0.5) = F(0.5) - F(-5) = 0.5 /2 – 0 =0.125 – 0 = 0.125
Определим вероятность попадания на отрезок Р( 8 < Х < 10)
Р(8 < Х < 10) = F(10) – F8) = 1 – 1 = 0

16. Графическое представление вероятности попадания в интервал на графике функции распределения

F(X)
1
0 0.1
0.5
1
√¯2
8
2
10
Р(0.1 < Х < 1) = F(1) - F(0.1) = 1/2-0.1 /2=0.5-0.005 = 0.495
2
Р( 0.5 < Х < 8) = F(8) - F(0.5) = 1 – 0.5 =1 – 0.25 = 0.75
Р(8 < Х < 10) = F(10) – F8) = 1 – 1 = 0
X

17. Примеры

0
2
x
F(X)=
2
1
4. Определить плотность распределения.
φ(х) = F´(X) =
0
x
0
При Х≤0
При 0 < Х < √¯2
При Х ≥ √¯2
При Х≤0
При 0 < Х < √¯2
При Х ≥ √¯2

18. Примеры

5. Построить график плотности распределения.
φ (X)
φ(х) = F´(X) =
0
x
0
При Х≤0
При 0 < Х < √¯2
При Х ≥ √¯2
√¯2
0
√¯2
X

19. Графическое представление вероятности попадания в интервал на графике плотности распределения

φ (X)
√¯2
0 0.1 0.5
1
Р(0.1 < Х < 1) =
1 √¯2
8
10
1
x 2 1 0.12
0.1xdx 2 2 2 0.495
0.1
2
Р( 0.5 < Х < 8) = F(8) - F(0.5) = 1 – 0.5 =1 – 0.25 = 0.75
Р(8 < Х < 10) = F(10) – F8) = 1 – 1 = 0
X

20. Количественные характеристики законов распределения

Функция распределения F(х), плотность распределения φ(х) и другие
способы задания законов распределения полностью определяют
поведение случайной величины, но на практике часто требуется знать
только некоторые характеристики законов распределения.
Рассмотрим пример. Пусть идет стрельба по трем мишеням. Результаты
показаны на рисунках.
2)
3)
1)
Здесь случайная величина – координаты попадания в мишень.
Для ее характеристики достаточно знать ее центр
распределения и ее степень рассеяния.
Мишени 1 и 2 отличаются центром распределения
1 и 3 - степенью рассеяния вокруг центра.
Возникает вопрос: как охарактеризовать эти два свойства.

21. Характеристики центра распределения

Существует три характеристики центра распределения:
мода
медиана
математическое ожидание
φ(х)
Значение моды
φ(μ)=max
μе
Х
μ
Модой (μ) называется значение X, для которого φ(х) максимально.
Медианой называется такое значение X, при котором выполняется
следующее равенство: Р(х< μе)=Р(х> μе)=0,5 . Т.е. вероятность
попадания левее и правее μе одинакова.
Заштрихованные площади левее и правее μе равны.

22. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Рассмотрим следующий пример.
Пусть монета подбрасывается 1 раз. Рассматривается случайная
величина – число появления орлов. Понятно, что число орлов
может быть либо 0, либо 1. Требуется найти центр такого
распределения, т.е. некое среднее из всех возможных значений
случайной величины.
(0+1)/2=0.5 - это и есть центр распределения.
Теперь проведем испытания. Подбросим монету 5000 раз. (Опыт
Бюффона). Каждый раз будем записывать 1, если появился орел и 0
, если появилась решка. А затем возьмем среднее из всех
записанных значений.
Среднее окажется очень близко к 0.5.
Повторим данный эксперимент, с другой монетой, у которой
смещен центр тяжести. В силу этого вероятность появления
орла при одном бросании будет равна 0.7. В этом случае
среднее из нулей и единиц будет близко к 0.7.
Т.е. необходимо находить некое среднее из возможных значений
случайной величины, с учетом вероятностей их появления

23. Математическое ожидание случайной величины

Для дискретной случайной величины, математическое ожидание,
характеризующее центр распределения случайной величины,
определяется по формуле.
n
МХ=
x p
i 1
i
i
Здесь
хi
- Возможные значения случайной
величины
pi
- Вероятности появления i – го
значения случайной величины
Из всех рассмотренных характеристик центра
распределения, математическое ожидание проще всего
определяется аналитически. Математическое ожидание
принято обозначать МХ или М[X].

24. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Рассмотрим пример.
Распределение случайной величины Х задано с помощью ряда
распределения. Требуется охарактеризовать центр распределения
данной случайной величины.
X
-2
-1
0
4
5
8
P
0.2
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
n
МХ=
x p
i 1
i
i = -2*0.2 - 1*0.1+ 0*0.2 + 4*0.3 + 5*0.1 + 8*0.1 = 2.0

25. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

n
МХ=
x p
i 1
i
i
- Для дискретной случайной величины.
Аналогично, можно записать формулу для математического ожидания
непрерывной случайной величины. Для этого необходимо учесть, что
вместо вероятности попадания в точку, для непрерывной случайной
величины берется вероятность попадания на бесконечно малый
отрезок.
Вместо pi , необходимо взять элемент вероятности φ(х)dх
А ∑ заменить на ∫. Тогда получим формулу.
МХ=
х ( х)dx
- Для непрерывной случайной величины.

26. Пример

0
2
x
2
1
F(X)=
При Х≤0
При 0 < Х < √¯2
При Х ≥ √¯2
φ(х) = F´(X) =
Плотность распределения.
Здесь математическое ожидание будет
2
2
3
х
М Х х ( х)dх х 2 dх
3
0
0
2
0
0
x
0
При Х≤0
При 0 < Х < √¯2
При Х ≥ √¯2
( 2 )3
2.83
3

27. Количественные характеристики законов распределения

Так как математическое ожидание легко определяется
аналитически, то оно явилось основой для создания целого спектра
количественных характеристик случайной величины.
На основе математического ожидания введены понятия начальных,
центральных, абсолютных центральных моментов.
Начальным моментом порядка k называется математическое
ожидание случайной величины Х в степени k.
k МX
k
Так, первый начальный момент есть математическое ожидание.
1 МX
n
α1 =
x p
i 1
i
i
Формулы вычисления начального момента:
n
x
Для
дискретной αk=
i 1
случайной
величины
k
i
pi
Для
непрерывной
случайной
величины
αk=
k
х
( х)dx

28. Понятие центрального момента

Центральным моментом порядка k называется математическое
ожидание центрированной случайной величины Х в степени k.
k М (Х М Х )
k
Формулы вычисления начального момента:
Для дискретной
случайной величины
Для непрерывной
случайной величины
n
μk=
( x M
i 1
i
k
Х
) pi
μk=
k
(
х
M
)
X ( х ) dx

29. Дисперсия случайной величины

Наиболее важной характеристикой среди центральных моментов
является второй центральный момент, который имеет специальное
название дисперсия, и обозначение DX.
n
μ2= D X ( xi M Х ) 2 pi
i 1
μ2=
D X ( х M X ) 2 ( х)dx
Дисперсия имеет размерность квадрата размерности
случайной величины, что неудобно. Поэтому, чаще
используют квадратный корень из дисперсии, который
обозначают σХ и называют – среднее квадратическое
отклонение.
σХ= +√¯DX

30. Асимметрия (Скошенность)

Центральные моменты используют для получения некоторых
дополнительных характеристик случайной величины.
Например, характеристика асимметричности распределения
(скошенность) Sk.
Sk=
μ3
3
σ
φ(X)
Скошенность отрицательная -
Sk=
X
МX
0
μ3
3
σ
<0

31. Эксцесс

Характеристика вытянутости или остроконечности графика – эксцесс:
Е=
μ4
3
4
σ
Е >0
Е=0
Е<0

32. Центральные абсолютные моменты

Центральным, абсолютным моментом k –го порядка называется
математическое ожидание центрированное случайной величины, взятой
по абсолютной величине, в степени k.
k M[ (X M X ) ]
k
Обычно при расчетах используют только первый центральный момент:
1 M[ (X MX ) ]
С точки зрения теории ошибок, величина X-MX представляет собой
истинную ошибку измерений Δ.
1 M[ ]
Величину называют средним отклонением.
1

33. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание имеет размерность случайной величины.
2. Мс = с, где с – постоянная
3. Мсх = сМх
4. Мх+у = Мх + Му
5.
Mχ A PA
6. МX•Y = МX • МY
7. Мƒ(х , х ,… х ) ≈ ƒ (Мх1, Мх2,…,Мхn)
1
2
n
Доказательство.
2. MC =
cpc c
n
3. Мсх =
cx p
i 1
i
i
n
с xi pi
i 1
сМх

34. Свойства математического ожидания

Докажем третье свойство для непрерывной случайной величины.
Рассмотрим функцию распределения случайной величины сх в точке
x
FсХ( ) = Р(сХ<
x) = Р(Х< x/с) = F (x/с)
x.
Х
Возьмем производные от левой и правой частей полученного равенства:
x
x
φсХ( ) = φХ( /с)/с
+∞
Мс Х =
+∞
+∞
∫ x φ (x)dx =∫x/c φ (x/c)dx = с∫x/cφ (x/c)d(x/c) = cМх
сХ
Х
-∞
-∞
Х
-∞

35.

Спасибо за внимание!