Теория вероятностей и элементы математической статистики

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2. Раздел 2. Случайные Величины

Раздел 2. Случайные
Величины
Глава 1. Одномерные СВ

3. УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Определения
и
классификация
случайных
величин.
2. Ряд распределения. Функция распределения СВ,
ее свойства и график.
3. Плотность распределения вероятностей.
4. Числовые
характеристики
непрерывной случайных величин.
дискретной
и

4. ЛИТЕРАТУРА

1. Баврин И. И. Высшая математика. – М.:
Академия, 2004, стр. 531 – 545.
2. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории
вероятностей и математической статистике. – М.:
Айрис-пресс, 2004, стр. 60 – 83.

5.

§1. Основные определения

6.

Случайной величиной называется величина,
которая в результате опыта может принять то
или иное значение, причем заранее
неизвестно какое именно.
Обозначения: X, Y, Z…

7.

Случайные
величины
дискретные
непрерывные

8.

9.

• Определение. Непрерывной случайной
величиной называют такую случайную
величину, которая может принять любое
значение из некоторого конечного или
бесконечного интервала (интервалов).

10. ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

11.

Закон распределения – всякое соответствие
между
возможными
значениями
случайной
величины и соответствующими им вероятностями.

12. § 2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

13. ТАБЛИЧНЫЙ СПОСОБ

14.

• Пусть
X x1
и
P( X x1 ) p1 ;
X x2
и
P( X x2 ) p2 ;
X x3
и
P ( X x3 ) p 3 ;
…………………………………
X xn ,
P( X xn ) pn .
n
p
i 1
i
1.

15. РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ

Закон распределения или ряд распределения
дискретной
случайной
величины
X,
принимающей конечное число значений
x 1 < x2 < … < xn ,
с соответствующими вероятностями
pi (i = 1, 2,…, рn ), задается в виде таблицы
X
x1
x2
x3
P
p1
p2
p3
……
xn
……
pn

16.

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДСВ
Ряд распределения дискретной случайной величины,
принимающей счетное число значений задается в виде
таблицы, где
x1 < x2 < … < xm < … –
возможные значений величины Х, а pm (m = 1, 2,…) – их
вероятности.
p
m 1
m
1.

17.

18.

Ноль попаданий:
P(0) 0, 4 0,3 0,12.

19.

Одно попадание:
P(1) 0,6 0,3 0, 4 0,7 0, 46.

20.

Два попадания:
P(2) 0,6 0,7 0, 42.

21.

Р(0)= 0,1 ; Р(1)= 46 ; Р(2)=
Ряд распределения:
X
P
0,12 0, 46 0, 42 1.

22. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ

23.

Многоугольник
распределения
1 P
X
P
0
1
2
0,12
0,46
0,42
0, 46
0, 42
0,12
0
1
2 X

24. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ

25. С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ F(X)

26. § 3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

27.

Функция распределения
Определение. Функцией распределения
случайной величины Х называется
вероятность того, что случайная величина Х
примет значение меньше, чем х:
F ( x) P( X x)

28.

F ( x)
для ДСВ Х
определяется формулой
0,
p,
1
F ( x)
p1 p2 ,
1,
если
x x1 ,
если x1 x x2 ,
если x2 x x3 ,
если
x xn .

29.

График –
ступенчатая функция
1 F ( x)
p1 p2 p3
p1 p2
p1
0
x1
x2 x3
xn

30.

Свойства функции
распределения
1)
l im F x 0; li m F x 1.
x
2)
x
F ( x) неубывающая функция на
( ; ).
3) P( X ) F ( ) F ( ).

31.

4. Если X - непрерывная случайная
величина, то P( X ) 0
P( X ) P( X )
P( X ) P( X ).

32.

• 5. Если Х - непрерывная случайная
величина, то F(x) – непрерывная функция.

33. § 4. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

34.

• Определение. Дифференциальной
функцией распределения или плотностью
распределения вероятностей наз. первая
производная интегральной функции
распределения
f ( x) F ( x).
• Иногда плотность распределения
вероятностей обозначают
р( x) F ( x).

35.

• График дифференциальной функции
распределения f (x ) наз. кривой
распределения:

36. СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

37.

• 1. Для
x
f ( x) 0.
x
• 2.
F ( x)
f (t )dt
• 3.
f ( x)dx 1.
• 4. P( X ) f ( x)dx.

38.

39.

• Пусть Х - дискретная случайная величина с
распределением вероятностей

40.

Математическим
называется число
MX
ожиданием
ДСВ
m
p x
k 1
k
k
для конечного множества значений Х,
MX
p x
k 1
k
k
для счетного множества значений Х.
Х

41.

Рассмотрим случайную
величину с рядом распределения:
X
P
9
10
11
0,4
0,1
0,5
X

42.

Математическое ожидание случайной
величины X в нашем примере:
М ( Х ) = x1· p1 + x2 · p2 + x3· p3

43. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Определение. Математическим ожиданием
непрерывной случайной величины Х,
называется несобственный интеграл
M (X )
xf ( x)dx

44. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

В случае, когда все возможные значения НСВ Х
принадлежат отрезку [a,b], ее математическое
ожидание вычисляется по формуле
b
M ( X ) xf ( x)dx
a

45.

Свойства математического ожидания
•1. Если X С = const, то МC = С.
•2. Если k – константа, то М(kХ) = kMХ .
•3. Если k – константа, то М(k + Х) = k + MХ .
•4. М(Х ± У) = MХ ± MУ
•5. Если СВ Х и У независимы, то
М(ХУ) = МХ МУ

46.

ДИСПЕРСИЯ
Определение. Дисперсией (рассеиванием)
случайной величины называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от
ее математического ожидания.
D( X ) M X M ( X )
2

47.

D( X ) M X M ( X )
2

48.

Вычисление
дисперсии
Теорема. Дисперсия равна разности
между математическим ожиданием
квадрата случайной величины Х и
квадратом ее мат. ожидания.
D( X ) M ( X ) M ( X )
2
2

49.

D( X ) M ( X ) M ( X )
2
2
Вычисление
дисперсии

50.

ДИСПЕРСИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СВ
Дисперсия непрерывной случайной
величины вычисляется по формуле
D( X ) [ x M ( X )] f ( x)dx
2

51.

ДИСПЕРСИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СВ
Для практического вычисления дисперсии
используется формула
D( X )
x
2
f ( x)dx [ M ( X )]
2

52. СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ

10. D [ a ] = 0, a = const;
20. D [ a Х ] = a2 D[Х];
30. D [Х ] 0;
40. если Х, У независимы, то
D [ Х±У ] = D [Х ] + D [У].

53. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Определение. Средним квадратическим
отклонением (СКО) случайной величины
называется корень квадратный из ее дисперсии.
СКО является мерой рассеяния случайной
величины и обозначается σ(х)
( x) D( X )
СКО имеет ту же размерность, что и случайная величина.

54. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

• Пример. Случайным образом бросают точку на
отрезок [ 0,1 ]. Х– координата точки попадания.
• Найти: дисперсию и среднеквадратическое
отклонение.
• Решение.
0 , если x 0
f ( x) 1 , если х (0,1]
1
0 , если х 1
3 1
x
1
2
2
M ( X ) x dx
1
2 1
3 0 3
x
1
0
M ( X ) x dx
2 0 2
1 1 1
0
D( X )
Из формулы:
3 4 12
D( X )
2
2
x
f
(
x
)
dx
[
M
(
X
)]
1
1
(X )
12 2 3

55.

МОДА
Определение. Модой М0 дискретной
случайной величины называется ее наиболее
вероятное значение.
Для непрерывной случайной величины мода –
такое значение случайной величины, при
которой плотность распределения имеет
максимум.

56.

МЕДИАНА
• Определение. Медианой MD случайной величины Х
называется такое ее значение, относительно которого
равновероятно получение большего или меньшего
значения случайной величины
P( X M D ) P( X M D )
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой
площадь, ограниченная кривой распределения делится
пополам S1=S2.
S1 S2

57.

НАЧАЛЬНЫЕ И
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
• Определение. Начальным моментом k k-го
порядка СВ Х называется
k MX .
k
• Определение. Центральным моментом k
k-го порядка СВ Х называется
k M ( X MX ) .
k

58.

НАЧАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

59.

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

60.

КОЭФФИЦИЕНТ
АСИММЕТРИИ
• Определение. Коэффициентом асимметрии AS
называется величина
3
S 3.
x

61.

КОЭФФИЦИЕНТ
АСИММЕТРИИ
Если АS=0, то СВ
распределена
симметрично
относительно
математического
ожидания.
• Коэффициент асимметрии по другому
можно назвать коэффициентом
«скошенности».

62.

ЭКСЦЕСС
Определение. Эксцессом
величина
Е
4
E 4 3.
x
называется

63. Существует так называемое нормальное распределение СВ. Для него Е=0. Кривые, более островершинные, чем нормальная обладают

ЭКСЦЕСС
Существует так
называемое
нормальное
распределение СВ.
Для него Е=0.
Кривые, более
островершинные,
чем нормальная
обладают
положительным
эксцессом, более
плосковершинные –
отрицательным.