ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Раздел 2. Случайные Величины
УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
ТАБЛИЧНЫЙ СПОСОБ
РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ
С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ F(X)
§ 3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 4. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ
СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Существует так называемое нормальное распределение СВ. Для него Е=0. Кривые, более островершинные, чем нормальная обладают
5.83M
Category: mathematicsmathematics

Теория вероятностей и элементы математической статистики

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2. Раздел 2. Случайные Величины

Раздел 2. Случайные
Величины
Глава 1. Одномерные СВ

3. УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Определения
и
классификация
случайных
величин.
2. Ряд распределения. Функция распределения СВ,
ее свойства и график.
3. Плотность распределения вероятностей.
4. Числовые
характеристики
непрерывной случайных величин.
дискретной
и

4. ЛИТЕРАТУРА

1. Баврин И. И. Высшая математика. – М.:
Академия, 2004, стр. 531 – 545.
2. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории
вероятностей и математической статистике. – М.:
Айрис-пресс, 2004, стр. 60 – 83.

5.

§1. Основные определения

6.

Случайной величиной называется величина,
которая в результате опыта может принять то
или иное значение, причем заранее
неизвестно какое именно.
Обозначения: X, Y, Z…

7.

Случайные
величины
дискретные
непрерывные

8.

9.

• Определение. Непрерывной случайной
величиной называют такую случайную
величину, которая может принять любое
значение из некоторого конечного или
бесконечного интервала (интервалов).

10. ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

11.

Закон распределения – всякое соответствие
между
возможными
значениями
случайной
величины и соответствующими им вероятностями.

12. § 2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

13. ТАБЛИЧНЫЙ СПОСОБ

14.

• Пусть
X x1
и
P( X x1 ) p1 ;
X x2
и
P( X x2 ) p2 ;
X x3
и
P ( X x3 ) p 3 ;
…………………………………
X xn ,
P( X xn ) pn .
n
p
i 1
i
1.

15. РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ

Закон распределения или ряд распределения
дискретной
случайной
величины
X,
принимающей конечное число значений
x 1 < x2 < … < xn ,
с соответствующими вероятностями
pi (i = 1, 2,…, рn ), задается в виде таблицы
X
x1
x2
x3
P
p1
p2
p3
……
xn
……
pn

16.

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДСВ
Ряд распределения дискретной случайной величины,
принимающей счетное число значений задается в виде
таблицы, где
x1 < x2 < … < xm < … –
возможные значений величины Х, а pm (m = 1, 2,…) – их
вероятности.
p
m 1
m
1.

17.

18.

Ноль попаданий:
P(0) 0, 4 0,3 0,12.

19.

Одно попадание:
P(1) 0,6 0,3 0, 4 0,7 0, 46.

20.

Два попадания:
P(2) 0,6 0,7 0, 42.

21.

Р(0)= 0,1 ; Р(1)= 46 ; Р(2)=
Ряд распределения:
X
P
0,12 0, 46 0, 42 1.

22. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ

23.

Многоугольник
распределения
1 P
X
P
0
1
2
0,12
0,46
0,42
0, 46
0, 42
0,12
0
1
2 X

24. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ

25. С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ F(X)

26. § 3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

27.

Функция распределения
Определение. Функцией распределения
случайной величины Х называется
вероятность того, что случайная величина Х
примет значение меньше, чем х:
F ( x) P( X x)

28.

F ( x)
для ДСВ Х
определяется формулой
0,
p,
1
F ( x)
p1 p2 ,
1,
если
x x1 ,
если x1 x x2 ,
если x2 x x3 ,
если
x xn .

29.

График –
ступенчатая функция
1 F ( x)
p1 p2 p3
p1 p2
p1
0
x1
x2 x3
xn

30.

Свойства функции
распределения
1)
l im F x 0; li m F x 1.
x
2)
x
F ( x) неубывающая функция на
( ; ).
3) P( X ) F ( ) F ( ).

31.

4. Если X - непрерывная случайная
величина, то P( X ) 0
P( X ) P( X )
P( X ) P( X ).

32.

• 5. Если Х - непрерывная случайная
величина, то F(x) – непрерывная функция.

33. § 4. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

34.

• Определение. Дифференциальной
функцией распределения или плотностью
распределения вероятностей наз. первая
производная интегральной функции
распределения
f ( x) F ( x).
• Иногда плотность распределения
вероятностей обозначают
р( x) F ( x).

35.

• График дифференциальной функции
распределения f (x ) наз. кривой
распределения:

36. СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

37.

• 1. Для
x
f ( x) 0.
x
• 2.
F ( x)
f (t )dt
• 3.
f ( x)dx 1.
• 4. P( X ) f ( x)dx.

38.

39.

• Пусть Х - дискретная случайная величина с
распределением вероятностей

40.

Математическим
называется число
MX
ожиданием
ДСВ
m
p x
k 1
k
k
для конечного множества значений Х,
MX
p x
k 1
k
k
для счетного множества значений Х.
Х

41.

Рассмотрим случайную
величину с рядом распределения:
X
P
9
10
11
0,4
0,1
0,5
X

42.

Математическое ожидание случайной
величины X в нашем примере:
М ( Х ) = x1· p1 + x2 · p2 + x3· p3

43. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ


Определение. Математическим ожиданием
непрерывной случайной величины Х,
называется несобственный интеграл
M (X )
xf ( x)dx

44. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ


В случае, когда все возможные значения НСВ Х
принадлежат отрезку [a,b], ее математическое
ожидание вычисляется по формуле
b
M ( X ) xf ( x)dx
a

45.

Свойства математического ожидания
•1. Если X С = const, то МC = С.
•2. Если k – константа, то М(kХ) = kMХ .
•3. Если k – константа, то М(k + Х) = k + MХ .
•4. М(Х ± У) = MХ ± MУ
•5. Если СВ Х и У независимы, то
М(ХУ) = МХ МУ

46.

ДИСПЕРСИЯ
Определение. Дисперсией (рассеиванием)
случайной величины называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от
ее математического ожидания.
D( X ) M X M ( X )
2

47.

D( X ) M X M ( X )
2

48.

Вычисление
дисперсии
Теорема. Дисперсия равна разности
между математическим ожиданием
квадрата случайной величины Х и
квадратом ее мат. ожидания.
D( X ) M ( X ) M ( X )
2
2

49.

D( X ) M ( X ) M ( X )
2
2
Вычисление
дисперсии

50.

ДИСПЕРСИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СВ
Дисперсия непрерывной случайной
величины вычисляется по формуле
D( X ) [ x M ( X )] f ( x)dx
2

51.

ДИСПЕРСИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СВ
Для практического вычисления дисперсии
используется формула
D( X )
x
2
f ( x)dx [ M ( X )]
2

52. СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ

10. D [ a ] = 0, a = const;
20. D [ a Х ] = a2 D[Х];
30. D [Х ] 0;
40. если Х, У независимы, то
D [ Х±У ] = D [Х ] + D [У].

53. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Определение. Средним квадратическим
отклонением (СКО) случайной величины
называется корень квадратный из ее дисперсии.
СКО является мерой рассеяния случайной
величины и обозначается σ(х)
( x) D( X )
СКО имеет ту же размерность, что и случайная величина.

54. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

• Пример. Случайным образом бросают точку на
отрезок [ 0,1 ]. Х– координата точки попадания.
• Найти: дисперсию и среднеквадратическое
отклонение.
• Решение.
0 , если x 0
f ( x) 1 , если х (0,1]
1
0 , если х 1
3 1
x
1
2
2
M ( X ) x dx
1
2 1
3 0 3
x
1
0
M ( X ) x dx
2 0 2
1 1 1
0
D( X )
Из формулы:
3 4 12
D( X )
2
2
x
f
(
x
)
dx
[
M
(
X
)]
1
1
(X )
12 2 3

55.

МОДА
Определение. Модой М0 дискретной
случайной величины называется ее наиболее
вероятное значение.
Для непрерывной случайной величины мода –
такое значение случайной величины, при
которой плотность распределения имеет
максимум.

56.

МЕДИАНА
• Определение. Медианой MD случайной величины Х
называется такое ее значение, относительно которого
равновероятно получение большего или меньшего
значения случайной величины
P( X M D ) P( X M D )
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой
площадь, ограниченная кривой распределения делится
пополам S1=S2.
S1 S2

57.

НАЧАЛЬНЫЕ И
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
• Определение. Начальным моментом k k-го
порядка СВ Х называется
k MX .
k
• Определение. Центральным моментом k
k-го порядка СВ Х называется
k M ( X MX ) .
k

58.

НАЧАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

59.

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

60.

КОЭФФИЦИЕНТ
АСИММЕТРИИ
• Определение. Коэффициентом асимметрии AS
называется величина
3
S 3.
x

61.

КОЭФФИЦИЕНТ
АСИММЕТРИИ
Если АS=0, то СВ
распределена
симметрично
относительно
математического
ожидания.
• Коэффициент асимметрии по другому
можно назвать коэффициентом
«скошенности».

62.

ЭКСЦЕСС
Определение. Эксцессом
величина
Е
4
E 4 3.
x
называется

63. Существует так называемое нормальное распределение СВ. Для него Е=0. Кривые, более островершинные, чем нормальная обладают

ЭКСЦЕСС
Существует так
называемое
нормальное
распределение СВ.
Для него Е=0.
Кривые, более
островершинные,
чем нормальная
обладают
положительным
эксцессом, более
плосковершинные –
отрицательным.
English     Русский Rules