Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики

1. Тема. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики

2. План:

1. Плотность распределения и ее
свойства.
2. Числовые характеристики НСВ.

3. 1. Плотность распределения и ее свойства

Плотностью
распределения
вероятностей
или
плотностью
распределения
f (x) непрерывной
случайной величины
X называется
производная ее функции распределения
F (x)

4.

Ее также называют дифференциальной
функцией распределения.
f x F x

5.

Теорема.
Вероятность
того,
что
непрерывная случайная величина X примет
значение, принадлежащее интервалу (a ; b),
равна определенному интегралу от плотности
распределения, взятому в пределах от a до b:
b
P a X b f x dx.
a

6. Свойства плотности распределения

1) Плотность распределения вероятностей
неотрицательная функция
f
x
0
2) Площадь фигуры, ограниченной кривой
распределения и осью абсцисс, равна единице
f
x dx
1

7. 2. Числовые характеристики НСВ

Математическим
ожиданием
непрерывной случайной величины X,
возможные значения которой принадлежат
отрезку от a до b, называют определенный
интеграл:
M X
b
x
f
x
dx
a

8.

Если возможные значения принадлежат
всей оси абсцисс, то
M X x f x dx

9.

Дисперсией
непрерывной
случайной величины называют
математическое
ожидание
квадрата ее отклонения.

10.

Если
возможные значения
принадлежат отрезку , то
D X
b
2
x
M
X
f
x
dx
a

11.

Если же возможные значения
принадлежат всей оси абсцисс, то
D X
2
x
M
X
f
x
dx

12.

Среднее
квадратическое
непрерывной
случайной
определяется равенством
X
отклонение
величины
D X

13.

Замечание 1.
Свойства
математического
ожидания и дисперсии дискретных
случайных величин сохраняются и
для непрерывных величин.

14.

Замечание 2.
Для вычисления дисперсии НСВ X можно
использовать более удобные формулы:
D X
b
x
f
x
dx
M
X
2
2
a
D X
x
f
x
dx
M
X
2
2

15.

Пример. Найти плотность распределения и
числовые характеристики случайной величины
X
заданной
интегральной
функцией
распределения
0,
2
x 9
F x
,
27
1
,
при
x 3;
при
3 x 6;
при
x 6.

16.

Решение.
x 3;
0, при
2
f x F x x, при 3 x 6;
27
0
,
при
x
6
.

17.

6
6
2 2
2 2
M X x dx x dx
27
27
3
3
2 3
14
2
3
6 3
4 ;
81
3
3

18.

2
2
14
D X x
xdx
27
3
3
6
2
2
2
2 3
2 3
14
14
x dx x dx
27
3 27 3
3
3
6
13
0,72;
18
6

19.

X 0,72 0,85

20. Тема. Основные законы распределения НСВ

План:
1. Равномерный закон распределения.
2. Показательный закон распределения.
3. Нормальный закон распределения.

21.

Плотности
распределений
непрерывных случайных величин
называют
также
законами
распределений.
Часто
встречаются
законы
равномерного,
нормального
и
показательного распределений.

22.

1. Равномерный закон распределения
Распределение
вероятностей
называют равномерным, если на
интервале, которому принадлежат
все возможные значения случайной
величины, плотность распределения
сохраняет постоянное значение.

23. 1. Равномерный закон распределения

НСВ
считается
распределенной,
если
вероятности имеет вид
равномерно
ее
плотность
если
x a,
0,
1
f x
, если a x b,
b
a
0
,
если
x
b
.

24.

Числовые характеристики равномерно
распределенной
случайной
величины
находятся по следующим формулам:
a b
M X
2
2
b a
D X
12

25.

Пример. Случайная величина распределена
равномерно в интервале (2;8). Найти ее
математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
2 8
M X
5
2
2
8 2
D X
3
12

26.

2. Показательный закон
распределения
Показательным
(экспоненциальным)
называют
распределение
вероятностей
непрерывной случайной величины X, которое
описывается плотностью
0
f x x
e
где
величина.
при
x 0,
при
x 0.
- постоянная положительная

27. 2. Показательный закон распределения

Функция
распределения
закона имеет вид:
показательного
при x 0,
0
F x
x
при x 0.
1 e

28.

Графики функций F (x) и f (x)
f x
F x
1
1
0
x
0
x

29.

Вероятность попадания в заданный
интервал показательно распределенной
случайной величины
Вероятность попадания в интервал непрерывной
случайной величины X, которая распределена по
показательному закону, заданному функцией
распределения
F x 1 e
x
x 0
вычисляется по формуле
P a X b e
a
e
b

30.

Пример. Непрерывная случайная величина X
распределена по показательному закону
2 x
f x 2e при x 0 ;
f x 0 при x 0 .
Найти вероятность того, что в результате
испытания X попадет в интервал (0,3 ;1).
Решение. По условию, 2 .
P 0,3 X 1 e
e
0, 6
e
2
2 0, 3
e
2 1
0,54881 0,13534 0,41.

31. Графики функций F (x) и f (x)

Числовые характеристики
показательного распределения
Числовые
характеристики
непрерывной
случайной
величины
X
распределенной по показательному закону
вычисляются по формулам:
1
M
X
D X
X
1
2
1
2
1

32. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

Пример. Непрерывная случайная величина X
распределена по показательному закону
f x 5e 5 x при x 0 ;
f x 0 при x 0.
Найти
математическое
ожидание,
среднее
квадратическое отклонение и дисперсию X.

33.

Пример. Непрерывная случайная величина X
распределена по показательному закону
f x 5e 5 x при x 0 ;
f x 0 при x 0.
Найти
математическое
ожидание,
среднее
квадратическое отклонение и дисперсию X.
Решение. По условию, 5 . Следовательно,
1
1
M X X M X X 0,2
5
1
1
D X 2 D X 2
0,04
25
5
1

34. Числовые характеристики показательного распределения

3. Нормальный закон распределения
Нормальным
называют
распределение
вероятностей
непрерывной случайной величины,
которое описывается плотностью
x a 2
1
f x
e
2
2 2

35.

Нормальное
распределение
определяется двумя параметрами:
a
и
Достаточно знать эти параметры,
чтобы задать нормальное распределение.

36.

Нормальная кривая
График
плотности
распределения
называют
кривой (кривой Гаусса).
нормального
нормальной

37. 3. Нормальный закон распределения

y
0
M(X)
x

38.

Влияние параметров нормального
распределения на форму нормальной
кривой.
Изменение величины параметра
a
не изменяет формы нормальной
кривой, а приводит лишь к ее сдвигу
вдоль оси абсцисс: вправо, если
математическое ожидание возрастает
и влево, если оно убывает.

39. Нормальная кривая

С
возрастанием
среднего
квадратического
отклонения
максимальная ордината нормальной
кривой убывает, а сама кривая
становится
более
пологой,
т.е.
сжимается к оси абсцисс.

40.

При
убывании
среднего
квадратического
отклонения
нормальная кривая становится более
«островершинной» и растягивается в
положительном
направлении
оси
ординат.

41.

y
3
8
0
M(X)
x

42.

При математическом ожидании равном нулю
и среднем квадратическом отклонении
равном единице
нормальную кривую
называют нормированной.
2
x
1
2
e
x
2

43.

Вероятность попадания в заданный интервал
нормальной случайной величины
Пусть случайная величина распределена по
нормальному закону. Тогда вероятность того,
что
X примет значение, принадлежащее
интервалу , равна
a
a
P X

44.

Пример. Случайная величина X
распределена по нормальному
закону
с
математическим
ожиданием равным 40 и средним
квадратическим отклонением 30 .
Найти вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее
интервалу (20;70).

45.

Решение.
70 40 20 40
P 20 X 70
30 30
2
1 0,3413 0,2486 0,5899
3

46. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Вычисление вероятности заданного
отклонения
Часто требуется вычислить вероятность того,
что отклонение нормально распределенной
случайной величины по абсолютной величине
меньше заданного положительного числа , т. е.
найти вероятность осуществления неравенства
X a

47. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

P X a 2Ф

48.

Пример.
Случайная
распределена нормально
величина
M X 20; X 10
Найти
вероятность
того,
что
отклонение по абсолютной величине
будет меньше трех.

49.

Решение. Используя формулу
P X a 2Ф
и данные условия задачи:
a 20; 10; 3
а также используя таблицу значений
функции Лапласа, получим:

50.

3
P X 20 3 2Ф
10
2Ф 0,3 2 0,1179 0,2358

51.

Правило трех сигм
Правило трех сигм: Если случайная величина
имеет нормальный закон распределения с
параметрами
a
и
то практически достоверно (вероятность
0,9973), что ее значения заключены в интервале
a 3 ; a 3

52. Вычисление вероятности заданного отклонения

На практике правило трех сигм
применяют так: если распределение
изучаемой величины неизвестно, но
условие,
указанное
в
правиле
выполняется, то есть основание
предполагать, что изучаемая величина
распределена нормально.