Законы распределения случайных величин. Лекция 2

1. Лекция 2. Законы распределения случайных величин.

2. Биномиальный закон

Дискретная случайная величина X имеет
биномиальный закон распределения, если она
принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ..., n
с вероятностями
Pn (m) P( X m) Cnm p m q n m ,
n!
.
где p+q=1, p>0, q>0, C
m! (n m)!
m
n

3. Биномиальный закон

Ряд распределения
xi
0
pi
n
q
…
n
C n1 pq n 1 Cn2 p 2 q n 2 … Cnm p m q n m …
pn
1
…
2
m
n
причем
p 1
i
0
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
3

4. Биномиальный закон

Параметры
n, p
Математическое ожидание
M ( X ) np
Дисперсия
D( X ) npq
Среднее квадратическое
отклонение
Мода
(наивероятнейшее число)
( X ) npq
20.09.2020
np q Mo( X ) np p
Никитин Михаил Евгеньевич
4

5. многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n=5 и p

(для p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8)
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
5

6. Пример

Примерно 20%
судебных дел – это дела
по обвинению в краже.
В порядке
прокурорского надзора
проверено 4 наудачу
отобранных дела.
Каково наивероятнейшее значение дел о краже среди
отобранных и какова вероятность этого значения?
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
6

7.

n 4,
20
p
0,2,
100
РЕШЕНИЕ
q 1 0,2 0,8
np q Mo( X ) np p
4 0,2 0,8 Mo( X ) 4 0,2 0,2
0 Mo ( X ) 1
m1 0, m2 1
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
7

8.

РЕШЕНИЕ
m1 0, m2 1
P4 (0) 0,8 0,4096
4
P4 (1) C 0,2 0,8 0,4096
1
4
20.09.2020
1
3
Никитин Михаил Евгеньевич
8

9. Закон Пуассона

Дискретная случайная величина X имеет закон
распределения Пуассона, если она
принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ...
(бесконечное, но счётное множество значений) с
вероятностями
m
a a
P ( Х m)
e ,
m!
е = 2,71828...

10. Закон Пуассона

Ряд распределения
xi
pi
0
e
a
1
2
a e
a 2 e a
2
a
…
m
…
…
a m e a
m!
…
причем
20.09.2020
p 1
i
0
Никитин Михаил Евгеньевич
10

11. Закон Пуассона

Параметры
а
Математическое
ожидание
M( X ) a
Дисперсия
D( X ) a
Среднее
(X) a
квадратическое
отклонение
Мода
a 1 Mo ( X ) a
(наивероятнейшее
число) Никитин Михаил Евгеньевич
20.09.2020
11

12. Многоугольники распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром  a (для a=0,5; 1; 2; 3,5;

Многоугольники распределения
случайной величины X, имеющей
закон распределения Пуассона с параметром a
(для a=0,5; 1; 2; 3,5; 5).
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
12

13.

Применение закона Пуассона
При больших n, малых р
Формула
Бернулли
Pn (m) C p q
m
n
m
Формула
Пуассона
n m
a m a
P(m)
e ,
m!
a np
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
13

14. Пример

Примерно 0,1%
судебных дел – это дела
по обвинению в
убийстве. Проверено
200 наудачу взятых
судебных дел.
Какова вероятность того, что среди них
дел о убийстве буде: 0, 1, 2, 3 ?
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
14

15. Решение

n = 200, p = 0,001, n·p = 0,2
0
m
1
2
3
0,2 m 0,2
P(m)
e
m!
0,9999
m
P200 (m) C 200
(0,001) m (0,999) 200 m
0,9999
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
15

16. Вероятности того, что за промежуток времени длиной t наступит m событий простейшего потока

Применение закона Пуассона
Вероятности того, что за промежуток времени
длиной t наступит m событий простейшего потока
mm
( at ) a t
ee ,
PPt t((mm) )
a m
! t
a t
– это среднее число a
событий
потока,
t
происходящих в единицу времени (интенсивность).
a t
a t
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
16

17. Пример

В дежурную часть
органов внутренних дел
за час в среднем
поступает 30
сообщений различного
характера.
Какова вероятность, что за минуту поступит 2
сообщения?
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
17

18. Решение

Количество сообщений, поступающих в час = 30,
1
t = 1(мин) = 1/60 (час), a 30 0,5
60
2
0,5 0,5
P1м ин. (2)
e 0,07
2
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
18

19. Равномерный закон

Непрерывная случайная величина Х имеет
равномерное распределение на отрезке [a, b], если
на этом отрезке плотность распределения вероятности
случайной величины постоянна, а вне его равна нулю,
т.е. если
х a,
0 при
f ( x) c при a x b,
0 при
x b.
1
const .
где c
b a

20. Равномерное распределение

Кривая распределения
f(x)
c
0
20.09.2020
a
b
Никитин Михаил Евгеньевич
x
20

21. Равномерный закон

Математическое
ожидание
b a
M(X)
2
Дисперсия
(b a) 2
D( X )
12
Среднее квадратическое
отклонение
b a
(X)
2 3
Вероятность попадания
СВ Х в интервал [ , ],
([ , ] [a, b])
20.09.2020
P( X )
Никитин Михаил Евгеньевич
b a
21

22. Пример

Цена деления шкалы
амперметра равна 0,1 А.
Показания округляют до
ближайшего целого
деления.
Найти вероятность того, что при отсчете будет
сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
22

23. Решение

0
0,01
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,08 0,09
0,1
Ошибка превысит заданную точность, если
Х [0,02, 0,08]
0,08 0,02
P(0,02 X 0,08)
0,6
0,1
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
23

24. Нормальный закон

Непрерывная случайная величина Х имеет
нормальное распределение, если плотность
вероятности f(x) имеет вид:
( x a )2
1
2 2
f ( x)
e
2

25. Нормальное распределение

Кривая распределения
f(x)
1
2
1
2 e
O
20.09.2020
a–
a
a+
Никитин Михаил Евгеньевич
x
25

26. Нормальный закон

Параметры
а,
Математическое
ожидание
M( X ) a
Дисперсия
D( X )
Среднее
квадратическое
отклонение
(X )
2
Вероятность попадания
a
a
P ( X ) Ф
Ф
,
СВ Х в интервал [ , ],
Ф(х) – функция Лапласа
([ , ] [a,
b])
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
26

27. Функция Лапласа

Ф(–х) = – Ф(х)
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
20.09.2020
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
Ф( x )
x
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
Никитин Михаил Евгеньевич
1
e
2 0
x
x2
2
dx
Ф(х)
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
27

28. При изменении параметра а форма графика функции не изменяется, а происходит лишь смещение вдоль оси абсцисс вправо, если он

возрастает, и влево, если
убывает.
a=1a=3
a=6
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
33
22
20.09.2020
11
0
1
2
33
44
555
666
777
Никитин Михаил Евгеньевич
888
999
10
10
10
28

29.

0.4
0.3
a = 1, = 1
0.2
0.1
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.3
a = 3, = 1
0.2
0.1
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.3
a = 6, = 1
0.2
0.1
3
2
1
0
1
20.09.2020
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Никитин Михаил Евгеньевич
29

30.

При изменении параметра изменяется форма
нормальной кривой. Если этот параметр убывает, то
кривая становится более островершинной, если
увеличивается, то кривая становится более пологой.
0.4
0.4
0.4
==
= 231
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
10
10
10 999
20.09.2020
888
777
666
555
444
333
222
111
000 111
222
333
44
55
Никитин Михаил Евгеньевич
66
77
88
99
10
10
30

31.

0.4
0.3
= 1
0.2
0.1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.3
= 2
0.2
0.1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.3
= 3
0.2
0.1
20.09.2020
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
Никитин Михаил Евгеньевич
4
5
6
7
8
9
10
31

32. Доска Гальтона

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
32

33. Правило «трех сигм»

0,4
если случайная
величина X имеет
нормальный закон
распределения с
параметрами а и
, то практически
достоверно, что
её значения
заключены в
интервале
(а–3 , а+3 ).
0,3
0,2
0,1
0
-4
-3
-2
20.09.2020
-1
0
1
2
3
4
Никитин Михаил Евгеньевич
33

34.

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
34

35. Показательный (экспоненциальный) закон

Непрерывная случайная величина X имеет
показательный (экспоненциальный) закон
распределения, если её плотность вероятности f(x)
имеет вид:
при x 0
0
f ( x) x
при x 0
e

36. Показательное распределение

Кривая распределения
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
36

37. Показательный закон

Параметр
Математическое
ожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое
отклонение
Вероятность попадания
СВ Х в интервал [ , ],
([ , ] [a, b])
20.09.2020
M (X )
1
1
D( X ) 2
1
(X )
P( X ) e e
Никитин Михаил Евгеньевич
37

38. Пример

На шоссе установлен
контрольный пункт для
проверки технического
состояния автомобилей.
Найти среднее время ожидание очередной машины
контролером Т, – если поток машин простейший и время (в
часах) между прохождениями машин через контрольный
пункт распределено по показательному закону
f (t ) 5e
20.09.2020
5t
Никитин Михаил Евгеньевич
38

39. Решение

f (t ) 5e
5t
f (t ) e
t
5
M (T ) 1 / 1 / 5(часа) 12( минут)
20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
39