Иррациональные уравнения

1. Тема урока: Иррациональные уравнения

Цель:
Познакомиться с понятием «иррациональные
уравнения» и некоторыми методами их решений.
Развивать умение выделять главное в изучаемом
материале, обобщать факты и понятия.
Выполнил(а):
11 РМ

2. Из последнего промежутка найти наименьшее положительное целое число.

I
Y=
X≥6
II
Y=
X>0
III
Y=
X > -2
IV
Y=
X≥0
Из последнего промежутка найти
наименьшее положительное целое число.

3. - какое число?

I
II
III
IV
X0 =27
X0 = 36
2=x²
X0=8
X0=
- какое число?

4. История иррационального числа

Термин
«рациональное»
(число)
происходит
от
латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является
переводом греческого слова «логос» в отличие от рациональных
чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин,
были названы еще в древности иррациональными, т.е.
нерациональными
(по-гречески
«алогос»)
правда,
первоначально термин «рациональный» и «иррациональный»
относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не
соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли
выразимыми и невыразимыми.
2

5.

Удивительное открытие пифагорейцев.
Каким числом выражается длина диагонали квадрата со
стороной 1?
С латыни слово «irrationalis» означает «неразумный».
«surdus» - «глухой» или «немой»

6.

Симон Стевин
ал - Каши
Рене Декарт
Занимались иррациональными числами

7.

Уравнения, в которых переменная содержится под
знаком корня, называются иррациональными:
Какое уравнение является иррациональным ?

8. Методы решения иррациональных уравнений:

1.
2.
3.
4.
Возведение обеих частей в степень.
Использование равносильных переходов.
Умножение левой части на сопряженное
выражение.
Введение новой переменной.

9. 1. Возведение обеих частей уравнения в степень

А =В
А = В 2 + Проверка корней
(т.к. могут появиться лишние корни)
При возведении в четную степень возможно
расширение области определения заданного
уравнения. Поэтому при решении таких
иррациональных уравнений обязательна проверка.
При возведении в нечетную степень обеих частей
иррационального уравнения область определения не
меняется.

10. пример

х 2 2х 5 =
х 2 3х 10
возводя обе части в квадрат,
получаем
х 2 + 2х + 5 = х 2 - 3х +10
5х = 5
Х=1
Проверка: 1 2 5 = 1 3 10 верно
Ответ: х = 1

11. 2. Использование равносильных переходов.

А =В
А=В
В≥0
2

12. Пример:

2х 1 = х – 2
х–2≥0
2х – 1 = ( х – 2) 2
х≥ 2
х1 = 1
х2 = 5
х≥2
2х – 1 = х 2 - 4х + 4
Ответ: х = 5
х≥2
х 2 - 6х + 5 = 0

13. 3. Умножение левой части на сопряженное выражение.

Если в левой части иррационального уравнения
сумма или разность корней, а подкоренное выражение –
линейная функция одинаковыми линейными коэффициентами,
а в правой части некоторое число, то левую и
правую части уравнения умножают на выражение,
сопряженное выражению в левой чисти ( а + в и а - в ) сопряженные).

14. Пример:

х 7 + х 1 = 4
( х 7 + х 1 )( х 7 - х 1 ) = 4( х 7 - х 1 )
х + 7 – х + 1 = 4( х 7 - х 1 )
4( х 7 - х 1 ) = 8
х 7 - х 1 = 2
х 7 - х 1 = 2
Тогда имеем
х 7 + х 1 = 4
2 х 7 = 6
х 7 = 3
х+7=9
х=2
Проверка: 2 7 + 2 1 = 4
3+1 = 4 верно Ответ: х = 2

15. 4. Введение новой переменной.

Решить уравнение: (х 2 + 1 ) + 2 х 2 1 = 15
Введем новую переменную
х 2 1 = t, t ≥ 0
х 2 + 1 = t 2 , тогда
t 2 + 2t = 15
t 2 + 2t – 15 = 0 решая,
получим t = -5 t = 3
х2 + 1 = 9
х2 1 = 3
х2 = 8
х1 = 8 = 2 2
х2 = - 8 = - 2 2
Ответ: х 1 = 2 2
х2 = - 2 2