Иррациональные уравнения 10 класс

1. Иррациональные уравнения 10 класс

f ( x) g ( x)
Иррациональные уравнения
10 класс
Подготовила
учитель математики
СОШ №14 г. Северодонецка
Афанасьевская Н.И.

2. Иррациональные уравнения

Определение:
Иррациональными называются уравнения, в которых
переменная содержится под знаком корня (радикала).
Например:
1. x 12 x 0, 2. 3 x 1 x.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

3. Какие из уравнений являются иррациональными?

а) х + √х = 2 ;
б) х + √х = 0 ;
в) х√7 = 11+х ;
г) у² - 3√2 = 4;
д) у + √у² + 9 = 2 ;
е) √х – 1 = 3.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

4. Иррациональные уравнения рассматриваются только в области действительных чисел.

При
решении
иррациональных
уравнений
необходимо учитывать свойства корня n-ой степени:
2n
если имеем
a , то а 0,
2 n 1
если имеем
2n
a 0 для всех
2 n 1
a 0 ,если а 0;
2 n 1
a 0
a
,то
a R .
а 0;
, если а 0.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

5. Докажите, что уравнения не имеют решений

1.
х 3 10 ;
2.
х 2 x 3 0 ;
3.
2 х x 4 2 ;
4.
1 х 3 x 5 ;
6.
х 3 x 9 x 2
5. 6 х 8 x
3
4;
x
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

6. Решение

1. В левой части имеем арифметический квадратный корень, который
есть неотрицательное число, правая часть – отрицательное число.
Следовательно, уравнение решений не имеет.
2. Найдем ОДЗ: x 2 0,
x 2.
x 3 0,
При х -2 выражение х 3 положительное, а выражение х 2
неотрицательное, а их сумма может быть только положительным
числом, т.к. правая часть уравнения строго больше нуля, а правая
равна нулю. Получили неверное равенство. Следовательно, уравнение
решений не имеет.
3. Найдем ОДЗ: 2 х 0, x 2,
x
х 4 0,
x 4,
Уравнение не определено на множестве действительных чисел, поэтому
решений нет.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

7. Решение

4. Найдем ОДЗ: 1 x 0 x 1.
Если х -1, то х-5 -1- 5, поэтому 3 х 5 отрицательное число.
Исходное уравнение не верное, поэтому решений не имеет.
5. Найдем ОДЗ: х 0,
x 0,
х
0
,
x .
x
0
,
х 0,
6. Найдем ОДЗ:
х 3 0, x 3,
х 9 0, x 9, x 3.
х 2 0, x 2,
Для любого х из ОДЗ имеем верное неравенство 0 х-3 х+9. Учитывая
монотонность функции y х , имеем, что
х 3 x 9 x 3 x 9 0.
Левая часть исходного уравнения отрицательная, а правая положительная. Поэтому исходное уравнение решения не имеет.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

8. Теоремы

1. Если n > 0 – нечетное число, n=2k+1, то уравнения
Аn(х) = Вn(х) и А(х) = В(х) равносильные
(эквивалентные).
2. Если n > 0 – четное число, n=2k, то корни уравнения
Аn(х) = Вn(х) удовлетворяют хотя бы одно из уравнений:
А(х) = В(х) или А(х) = -В(х) .
2к
A( x) B n ( x),
А( х) B( x)
B( x) 0.
2k
A( x) B( x),
А( х) 2 k B( x)
B( x) 0.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

9. Посторонние корни

Основными причинами появления посторонних
корней является возведение обеих частей уравнения
в одну и ту же чётную степень, расширение области
определения и др.
По этим причинам необходимой частью решения
иррационального уравнения является проверка,
либо
использование
области
определения
заданного уравнения.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

10. Простейшие способы решения иррациональных уравнений

1.Возведение в одну степень обеих частей уравнения
Преобразовать обе части уравнения к виду
n
n
f ( x) g ( x)
Возвести обе части в n-ую степень
n
Учитывая, что
n
f ( x)
a
n
n
a
n
g ( x)
n
получаем:
f ( x) g ( x)
Решить полученное уравнение и выполнить проверку (или ОДЗ)
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

11. Решение уравнения с радикалом четной степени

x 12 x 0.
Решим уравнение:
Уединим радикал:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 12 x.
x 12
2
x2.
Решим квадратное уравнение :
x 2 x 12 0.
Тогда :
D = 49, х = -3, х = 4.
Проверка :
x 3 :
3 12 ( 3) 0,
3 3 0 не верно,
x 3 посторонний корень.
x 4:
4 12 4 0,
16 4 0,
4 4 0,
0 0 верно.
Ответ : х=4.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

12. Решение уравнения с радикалом нечетной степени

Решим уравнение:
7
x 5 2 0.
Уединим радикал:
7
x 5 2.
Возведем обе части уравнения в 7 степень:
x 5 128.
Решим полученное уравнение :
x 128 5,
x 133.
Ответ : х=-133.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

13. Если квадратных корней в иррациональном уравнении много, то приходится возводить в квадрат несколько раз:

2 х 3 16 8 4 х 1 4 х 1
2 х 3 16 4 х 1уравнении
8 4 х 1
Если квадратных корней в иррациональном
много, то приходится возводить
2вх квадрат
20 8 несколько
4 х 1 : -2 раз:
2х 3 4х 1 4 0
х 10 4 4 х 1
уединим корень
х 10
2х 3 4 4х 1
2
2х 3 4 4х 1
2
2 х 3 16 8 4 х 1 4 х 1
2 х 3 16 4 х 1 8 4 х 1
2 х 20 8 4 х 1 : -2
х 10 4 4 х 1
х 10
2
4 4х 1
2
4 4х 1
2
х 2 20 х 100 16(4 х 1)
х 2 20 х 100 64 х 16
х 2 44 х 84 0, по т. Виета
х1 х2 44, х1 х2 84,
х1 42, х2 2.
Проверка : при х 42
2
2 42 3 4 42 1 4 0
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14
х 2 20 х 100 16(4 х 1)

14. Проверка

х1 х2 44, х1 х2 84,
х1 42, х2 2. Проверка
Проверка : при х 42
2 42 3 4 42 1 4 0
81 169 4 0 неверное рав во,
х 42 не является корнем;
при х 2
2 2 3 4 2 1 4 0
1 9 4 0 верное равенство,
х 2 является корнем.
Ответ : х 2.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

15. Решите уравнения

1.
7
2х 1 7 3 x;
2.
4
х 3 4 2 x 3;
3.
3
25 х 2 3 3;
4.
2 х 2 5 х 4 2 х 2;
5.
5х 1 7 х 6.
Ответы :
1) 4/3;
2) 6;
3) -1:1;
4) 0;
5) 3;7.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

16. 2.Метод замены переменной

• Ввести новую переменную.
• Решить уравнение, отбросить посторонние корни.
• Вернуться к первоначальному неизвестному.
• Чаще всего в качестве новой переменной используют
входящий в уравнение радикал.
• Введение вспомогательной переменной в ряде случаев
приводит к упрощению уравнения.
• При этом уравнение становится рациональным
относительно новой переменной.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

17. Пример

2 х 3х 2 х 3х 9 33, х R.
2
2
Пусть у 2 х 2 3х 9 , у 0,
тогда исходное уравнение примет вид:
у у 42 0.
Решим уравнение
у1 = -7, посторонний
2 х 2 3х 9 6
2
у2 = 6
получим:
х = 3,
х = - 4,5
Ответ: х = 3; х = - 4,5.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

18. Решить уравнение

3
(2 х) 2 3 (7 х) 2 3 (7 х)( 2 х) 3.
Решение
Пусть
3
2 х а, 3 7 х b.
a b ab 3,
3
3
a
b
9;
2
2
(a b ) 2 3ab 3,
(a b) 3;
Тогда
2
2
a
b
ab 3,
2
2
(
a
b
)(
a
b
ab) 9;
ab 2,
a b 3;
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14
a 1,
b 2;
a 2,
b 1.

19. Возвращаемся к замене

3
3
3
3
2 х 1,
7 х 2;
2 х 2,
7 х 1;
Ответ: х
х 1,
х 6.
= 1 или х = - 6.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

20. 3. Метод равносильных преобразований при решении иррациональных уравнений

Уравнения вида
f (х) g (х)
равносильны системе
f ( х) g ( х),
f ( х) 0.
Уравнения вида
f ( х) g ( х)
равносильны системе
f ( х) ( g ( х)) 2 ,
g ( х) 0.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

21. Решим методом равносильных преобразований

1.
х 1 х 4 6
Решение.
Перейдем к системе
равносильной данному уравнению
х 5,
( х 1)( х 4) 6,
х 2,
х 1;
х 1.
2.
1 4х х 2 х 1
Решение.
Запишем систему ,
равносильную исходному уравнению:
1 4 х х 2 ( х 1) 2 ,
х 1;
Ответ: х=2
х 0,
х 3,
х 1.
Ответ: х=3.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

22.

3.
( х 3) х 2 5 х 4 2 х 6.
Перепишем данное уравнение в таком виде:
( х 3)( х 2 5 х 4 2) 0.
Казалось бы, х=3-корень уравнения, но 3 не входит в
область определения. Данное уравнение равносильно системе:
х 2 5 х 4 0,
х 3 0,
2
х 5 х 4 2.
Исходное уравнение равносильно такому:
х 2 5 х 4 2; , х 2 5 х 0.
Ответ: х=0, х=5.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

23. При решении уравнений вида

3
f ( х) 3 g ( х) 3 h( х)
или
3
f ( х) 3 g ( х) h( х)
выполняем возведение в куб
обеих частей уравнения, используя формулу
(a b)3 a 3 b3 3ab(a b)
или
(a b) a b 3ab(a b)
3
3
3
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

24. Пример 1. Решите уравнение :

3
2х 1 3 х 1 1
Решение:
Возведем обе части уравнения в куб. Имеем:
2 х 1 х 1 33 (2 х 1)( х 1) (3 2 х 1 3 х 1) 1.
По условию
3
2 х 1 3 х 1 1 . Полученное уравнение имеет вид:
3
(2 х 1)( х 1) 1 х.
Возведем обе части уравнения в куб. Получим:
( х 1)( 2 х 1 ( х 1) 2 ) 0,
(2 х 1)( х 1) (1 х) 3 ,
(2 х 1)( х 1) (1 х) 3 0,
( х 1) х 2 0,
х 1, х 0.
Выполним проверку. х=0 – посторонний корень.
Ответ: х=1.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

25. Пример 2. Решите уравнение

3
3х 24 3 2 х 6 3 х .
Решение
Возведем обе части уравнения в куб. Имеем:
3х 24 2х 6 33 (3з 24)(2х 6) (3 3х 24 3 2 х 6 ) х,
учитывая, что
3
3
3х 24 3 2 х 6 3 х ,
имеем:
(3х 24)(2 х 6) х 6,
х 3 11х 2 24 х 36 0,
х 3 х 2 12 х 2 12 х 36 х 36 0,
х 2 ( х 1) 12 х( х 1) 36( х 1) 0,
( х 1)( х 2 12 х 36) 0,
( х 1)( х 6) 2 0,
х 1, х 6.
Выполним проверку: х=-6-посторонний корень
Ответ: х=1.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

26. 4. Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом
положении: “Если функция у f (x)
возрастает в области определения и число входит в
множество значений, то уравнение f ( x ) a
имеет единственное решение.”
Для реализации метода, основанного на этом
утверждении требуется:
• Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.
• Записать область определения данной функции.
• Доказать ее монотонность в области определения.
• Угадать корень уравнения.
• Обосновать, что других корней нет.
• Записать ответ. Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

27. Пример 1

х 10 3 х 2
Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные
выражения должны быть неотрицательными.
Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной х
х 10 0,
х 10,
3 х 0,
х 3.
Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении
неизвестного х. Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается –
ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так
как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь
решений, так как левая часть не существует ни при одном значении
неизвестного х.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

28. Пример 2

х 3 х 8 5
Рассмотрим функцию
у х 3 х 8
Найдем область определения данной функции:
х 3 0,
х 3
х 8 0
Данная функция является монотонно возрастающей.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

29.

Для х 3; эта функция будет принимать
наименьшее значение при х 3 ,а далее только
возрастать.
f ( 3) 5 2,23
Число 5 принадлежит области значения,
следовательно, согласно утверждению
х 1.
Проверкой убеждаемся, что это действительный
корень уравнения.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

30. Тематический тест «Решите уравнение»

1. Решить уравнение:
х 3 х 4 х 6 0.
А. -3;4.
Б. -3.
В. -3;4;6.
Г. 6
2. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения
( х 2 16) 1 х 0.
А. 5.
Б. 4.
3. Решите уравнение
В. 1.
Г. 0.
Д. -3.
х 2 6 х.
Если уравнение имеет один корень, запишите его в ответ.
Если уравнение имеет несколько корней,
то запишите в ответ их произведение.
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14

31. Использованные ресурсы

1. Довгаль Г. Ірраціональні рівняння і нерівності // Математика. – 2008. - № 1(445). –
С. 17-23.
2. Котовнюк М.М. Алгебра та початки аналізу. 11 клас / М.М. Котовнюк, В.А.
Ясінський, С.М. Бак. – Х.: “Основа”, 2006. – 288 с.
3. Мерзляк А. Г. Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч.
закладів: профільний рівень / А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровский, В.Б. Полонський,
М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2010. – 416 с.
4. Мерзляк А.Г. Алгебраический тренажер: пособие для школьников и абитуриентов
/ А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – К.: А.С.К., 1997. – 320 с.
5. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навчальн.
закладів: профільн. рівень / Є. П. Нелін. – Х.: Гімназія, 2010. – 416 с.
6. Шпаківський В. Деякі ірраціональні рівняння // Математика. – 2005. - № 16 (316). –
С. 13-15.
7. Штиволока О. Ірраціональні вирази та рівняння // Математика. – 2009. - №
15(507). – С. 19-20.
8. Досье школьного учителя математики. http://www.mathvaz.ru/
9 . Иррациональные уравнения.
http://ru.wikibooks.org/wiki/Иррациональные_уравнения
10. Иррациональные уравнения. http://www.fizmatik.ru/
Иррациональные уравнения. 10 класс
Афанасьевская Н.И СОШ№14