Методы решения иррациональных уравнений

1. Методы решения иррациональных уравнений

Контингент: 10 класс физико-математического профиля.

2. Цель урока:

Обобщение
и систематизация
способов решения
иррациональных уравнений.
Решение более сложных типов
иррациональных уравнений .
Развивать умение обобщать,
правильно отбирать способы
решения иррациональных
уравнений.
Развивать самостоятельность,
воспитывать грамотность речи.

3. Устная работа

Можно ли, не решая уравнений,
сделать вывод о неразрешимости
предложенных уравнений:
7 x 8 x;
x 3 x 1
2
3 х 5 х 9
5х 7 3 4 х х 2 2 0

4. Методы решения иррациональных уравнений

Введение новой переменной
Исследование ОДЗ
Умножение обеих частей уравнения
на сопряженный множитель.
Сведение уравнения к системе
рациональных уравнений с помощью
введения переменной.
Выделение полного квадрата

5. Методы решения иррациональных уравнений

Использование ограниченности
выражений, входящих в уравнение
Использование свойств
монотонности функций
Использование векторов
Функционально - графический метод
Метод равносильных преобразований
Метод возведения обеих частей
уравнения в одну и ту же степень

6. Введение новой переменной

Решение. уравнение.
Решить
x 2 3x 18 4 x 2 3x 6 0
Пусть х2+3х-6= t , t – неотрицательное число,
тогда имеем t 12 4 t 0.
Отсюда, t1=4, t2=36.
Проверкой убеждаемся, что t=36 – посторонний
корень.
Выполняем обратную подстановку
х2+3х-6=4
Отсюда, х1= - 5, х2=2.

7.

Решить уравнение
3 3х 1 4 3 х 7 х 1 2 1 х
Решение.
Замечаем, что ОДЗ уравнения состоит из
одной точки х=1.
Проверкой убеждаемся, что
х=1 – решение уравнения.

8. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель

x 3 x 8 5.
Решить уравнение
Решение. Умножим обе части уравнения на
Получим, x 3 x 8 5
x 3 x 8
x 3 x 8 .
x 3 x 8 1,
Имеем,
x 3 x 8 5.
Отсюда, 2
х 3 4,
х 1.
Проверкой убеждаемся, что х = 1 является
корнем данного уравнения.

9. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной

3
Решить уравнение
х 2 х 1 3.
Решение. Положим u 3 x 2, v x 1.
Тогда u+v=3. Так как u3=x-2, v2=x+1, то v2 – u3 =3.
Итак, в новых переменных имеем
v u 3,
2
3
v
u
3
Значит, х=3.
v 3 u,
3 2
u u 6u 6 0
v 2,
u 1.

10. Выделение полного квадрата

Решение.уравнение
Решить
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2.
x 1
Заметим, что x 2 2 x 1
x 2 2
x 1 1 .
x 1 1
2
2
Следовательно,
имеем
уравнение
Данное
уравнение
равносильно
совокупности
2
2
двух систем:
xx 1 11 x x 11 11 22.,
x 1 1 0,
Ответ:
или
2 x 1 12 x 0.
x 1 1 0,
x 1 1 1 x 1 2.
Решением первой системы будет х=0, решением
второй системы – все числа, удовлетворяющие
неравенству 1 х 0.

11. Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение

Решить
Решение.уравнение x 1 x 1 2 x .
Так как x 2 1 1 и 4 х 4 1 1 для любых значений х,
2
4
4
то левая часть уравнения не меньше двух для
2
2
х
2 для х R.
Правая часть
2
х R
Поэтому уравнение может иметь корнями только те
значения х, при которых
2
4
х 1 4 х 1 2,
2
2
х
2.
Решая второе уравнение системы, найдем х=0.
Это значение удовлетворяет и первому уравнению
системы. Итак, х=0 – корень уравнения.

12. Использование свойств монотонности функций

Решить
Решение.уравнение
5
x 1 x 2 3 29 x.
Если функция u(x) монотонная, то уравнение и(х)
= А либо не имеет решений, либо имеет
единственное решение. Отсюда следует, что
уравнение и(х) = v(x), где и(х) - возрастающая, a
v(x) – убывающая функции, либо не имеет
решений, либо имеет единственное решение.
Подбором находим, что х=2 и оно единственно.

13. Использование векторов

Решение.
Решить уравнение x 1 x 3 x 2 x2 1.
ОДЗ: 1 х 3.
Пусть вектор a x;1 , b 1 x ; 3 x
Скалярное произведение векторов
a b x x 1 3 x.
2
a b x 2 1 1 x 3 x 2 x 1
x
1
Получили a b a b
Отсюда,
1 x
3 x
Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение,
получим
x 1; x 1 2

14. Самостоятельная работа с последующей проверкой

ВАРИАНТ 1
1)x 2 514
; x6; 47
8; 91 x 7 1,
2) 1 2
x 2
633
35) x 5 x 6 25 x 2 .
13
3
ВАРИАНТ 2
x x 20 6 x 12,
3
12) 1;х2 ;110
х 1,
5
x 1 x 2 3,
6
2) 2
x x 25 x x 54.
7
3) 6561
4

15. Домашнее задание

Решить систему уравнений
6х
x y 5
,
6x
2
x y
xy x y 9.
Решите уравнения:
x 2 x 2 x 2 4 x 3 2 x 2 3x 1
x 8 2 x 7 x 1 x 7 4.

16. Источники

http://rudocs.exdat.com/docs/index-18133.html
http://dist-tutor.info/mod/lesson/view.php
http://ru.wikibooks.org/wiki/